第一章 空间向量与立体几何 1.3.1-1.3.2 空间向量及其运算的坐标表示-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

1．3.1　空间直角坐标系 1．3.2　空间向量运算的坐标表示 (教师独具内容) 课程标准：1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.3.掌握空间向量的线性运算及坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及坐标表示． 教学重点：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题，及点在空间直角坐标系中的坐标表示． 教学难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，立体几何问题坐标化、代数化． 核心素养：1.通过根据具体的条件建立空间直角坐标系并写出空间向量的坐标，提升直观想象素养.2.通过学习空间向量的坐标形式的线性运算和数量积运算，提升数学运算素养.3.通过借助空间向量的数量积运算，判定空间中线面的位置关系，提升直观想象素养． 知识点一　空间直角坐标系及空间向量的坐标表示 (1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(如图)，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)空间向量的坐标表示 ①在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． ②在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点二　空间向量运算的坐标表示 运算 坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点三　空间向量的平行或垂直的坐标表示 平行或垂直 坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 平行(a∥b) a∥b⇔a＝λb⇔(λ∈R且b≠0) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 知识点四　空间向量的长度公式及夹角的坐标表示 (1)空间向量长度公式的坐标表示 ①若a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝＝ ． ②空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝ ． (2)向量的夹角坐标公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则cos〈a，b〉＝ ＝． 1．空间向量的坐标与其起点、终点坐标的关系 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． 2．坐标平面内的点与对称点 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(x，y，z)在三个坐标平面Oxy，Oyz，Ozx内的射影为(x，y，0)，(0，y，z)，(x，0，z)．点P(x，y，z)的对称点坐标如下： (1)P(x，y，z)P1(x，y，－z)． (2)P(x，y，z)P2(－x，y，z)． (3)P(x，y，z)P3(x，－y，z)． (4)P(x，y，z)P4(x，－y，－z)． (5)P(x，y，z)P5(－x，y，－z)． (6)P(x，y，z)P6(－x，－y，z)． (7)P(x，y，z)P7(－x，－y，－z)． 3．中点坐标公式及三角形的重点坐标公式 (1)已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2的中点P的坐标为. (2)已知△ABC的三个顶点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心G的坐标为. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的坐标与点P的坐标一致．(　　) (2)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与b共线，则＝＝.(　　) (3)空间向