第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

1．1.2　空间向量的数量积运算 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 教学重点：数量积运算在空间几何体中的应用． 教学难点：空间向量数量积性质的应用． 核心素养：在理解并应用空间向量数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养数学抽象及数学运算素养． 知识点一　空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b． 知识点二　空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. (2)由向量的数量积定义，可以得到： ①a⊥b⇔a·b＝0． ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2． (3)向量的投影 ①如图1，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图2)． ②如图3，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． (4)运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 1．空间向量数量积性质的应用 (1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系． (2)|a|2＝a2，此结论可用于求空间中线段的长度． (3)cos〈a，b〉＝，此结论可用于求有关空间角的问题． (4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论可用于求空间中的距离问题． 2．利用空间向量数量积求夹角问题的两种方法 (1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围． (2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉． 3．求空间两点间的距离或线段长的方法 (1)将此线段用空间向量表示，通过空间向量运算来求对应空间向量的模． (2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用空间向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝＝. (3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来解决一个空间向量在另一个空间向量所在直线上的投影问题． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的充要条件．(　　) (2)若a，b是空间两个向量，且a2－4b2＝0，则a＝2b或a＝－2b.(　　) (3)若a，b均为非零空间向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　　) (4)已知空间中四点A，B，E，C，若·＝·，则⊥.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中数量积一定为零的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 (2)若空间向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为，则a·b＝________． (3)已知a，b是空间两个向量，且|a|＝，|b|＝，a·b＝－，则a与b的夹角为________． (4)已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________． 答案　(1)BCD　(2)1　(3)135°　(4) 题型一　空间向量的夹角 例1　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． [解]　如图，连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，所以〈，〉＝〈，〉＝45°，〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，〈，〉＝∠D′AC＝60°，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°. 感悟提升 (1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π. (2)对空间任意两个非零向量a，b有①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉． [跟踪训练1]　在正四面体ABCD中，与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 答案　D 解析　〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－6