第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

1．1.1　空间向量及其线性运算 (教师独具内容) 课程标准：1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算． 教学重点：空间向量的加减、数乘运算在空间几何体中的应用． 教学难点：空间几何体中向量的运算． 核心素养：在空间向量概念的形成中和线性运算的过程中，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，发展直观想象、数学抽象及数学运算素养． 知识点一　空间向量 (1)定义 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． (3)表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示 字母 表示法 如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作，其模记为|a|或|| (4)几类特殊的空间向量 ①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为0．当有向线段的起点A与终点B重合时，＝0． ②单位向量：模为1的向量叫做单位向量． ③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a． ④相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 知识点二　空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加法、减法运算(如图)： a＋b＝＋＝； a－b＝－＝. (2)加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点三　空间向量的数乘运算 (1)向量a与λa的关系 λ的范围 方向关系 几何表示 λ>0 方向相同 λ<0 方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 (2)空间向量的数乘运算律 设λ，μ是实数，则有： ①结合律：λ(μa)＝(λμ)a． ②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． 知识点四　共线向量与共面向量 (1)共线(平行)向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量 (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 充要 条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 1．在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是长度相等，方向相反． 2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行． 3．空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如－，误写成，应为. 4．对于不共线的三点A，B，C，四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1. 5．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明A，B，C三点共线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．(　　) (2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．(　　) (3)零向量是长度为0，没有方向的向量．(　　) (4)若a，b是空间两个向量，且|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． (2)已知a，b是空间两个向量，且b＝－5a，|a|＝2，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________． (3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式： ①－＝________； ②＋＋＝________； ③＋－＝________． (4)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用，，表示向量，则＝________． 答案　(1)球面　(2)10　相反 (3)①　②　③ (4)＋＋ 题型