第一章 空间向量与立体几何 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

知识系统整合 规律方法收藏 一、空间向量及其运算 1．空间向量的概念 (1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量．零向量是方向任意、长度为0的向量．两个向量相等的充要条件是它们的方向相同且模相等． (2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示．向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础． 2．空间向量的运算 (1)空间向量可以进行加、减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算性质基本相同．在向量的数量积运算中，不满足结合律． (2)空间向量可以进行代数运算、几何运算．代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义． 3．空间向量中的一些重要结论 (1)空间向量共线、垂直的充要条件：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)；a⊥b⇔a·b＝0. (2)空间向量共面的充要条件：p，a，b共面⇔p＝xa＋yb(a，b不共线，x，y∈R)． (3)空间向量的数量积及夹角公式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；cos〈a，b〉＝. (4)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 二、空间向量的坐标表示 1．空间坐标系 这里的空间坐标系指的是右手直角坐标系，即生成坐标系的一组单位正交基底{i，j，k}按右手系排列，各坐标轴的正方向与i，j，k同向． 2．空间向量的直角坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；λa＝(λa1，λa2，λa3)；＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔＝＝(b1，b2，b3≠0)． 3．有关公式 (1)模：|a|＝＝. (2)夹角：cos〈a，b〉＝ ＝. (3)空间两点间的距离 |AB|＝. 三、运用向量方法研究平行与垂直 用向量表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，直线l1的方向向量为b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．(以下相同) 线线平行：l∥l1⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． 线线垂直：l⊥l1⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 线面平行：若l⊄α，则l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. 线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a＝λμ⇔a1＝λa3，b1＝λb3，c1＝λc3(λ∈R)． 面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4(λ∈R)． 面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. 四、用向量方法求空间角和距离 1．求两异面直线所成的角 利用公式cos〈a，b〉＝，但务必注意两异面直线所成的角θ的范围是，故实质上应有cosθ＝|cos〈a，b〉|. 2．求直线与平面所成的角 求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝|cosφ|. 3．求平面与平面的夹角 用向量法求平面与平面的夹角也有两种方法：一种方法是利用二面角的平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小，若二面角为锐角，则平面与平面的夹角为该角，若二面角为钝角，则平面与平面的夹角为它的补角；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与平面与平面的夹角的大小相等或互补． 4．求点到直线的距离 点P到直线l的垂线段的长度叫做点P到直线l的距离．若A，Q为直线l上的点，且PQ⊥l，则点P到直线l的距离d＝|PQ|＝. 5．求点到平面的距离 点P到它在一个平面α内射影的距离，叫做点P到这个平面α的距离．若A为平面α内任一点，n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝. 学科素养培优 一、空间向量及其运算 本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向量基本定理，两个向量的数量积，这是学习空间向量与立体几何的基础，也是空间向量与立体几何的重点内容，通过本部分的学习我们就可很方便地使用向量工具，证明线与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和