第一章 空间向量与立体几何 单元质量测评-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

第一章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则＝(　　) A．－a－b B．a＋b C.a－b D．2(a－b) 答案　A 解析　＝＋＝－＝－－＝－a－b. 2．已知A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则＝(　　) A．(－2，0，－2) B．(2，0，2) C．(－1，0，－1) D．(0，－2，－2) 答案　A 解析　由题意可知B(1，2，1)，C(－1，2，－1)，∴＝(－2，0，－2)． 3．(2023·云南名校联盟高二期中)已知空间向量a＝(－1，2，－3)，b＝(4，2，m)，若(a＋b)⊥a，则m＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝14－3m＝0，故m＝. 4．已知a＝(1，x，1)，b＝(2，1，－1)的夹角为锐角，则函数y＝x2＋4x－1的值域是(　　) A．(－5，＋∞) B．[－4，＋∞) C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4) 答案　C 解析　因为a＝(1，x，1)，b＝(2，1，－1)的夹角为锐角，所以a·b>0，同时a＝(1，x，1)，b＝(2，1，－1)不共线，即2＋x－1>0，得x>－1，则y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5>－4，故选C. 5．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 答案　B 解析　由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)， ∴解得 6．已知{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n＝(　　) A．7 B．－20 C．28 D．11 答案　C 解析　因为{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，则i2＝j2＝k2＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0，故m·n＝(8j＋3k)·(－i＋5j－4k)＝40j2－12k2＝28. 7．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD夹角的正弦值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1，0，0)，E(，1，0)，D1(0，0，1)．∴＝(－1，0，1)，＝(－，1，0)．设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒∴x＝2y＝z，取y＝1，则n＝(2，1，2)．而平面ABCD的一个法向量为u＝(0，0，1)，设截面AEFD1与底面ABCD的夹角为θ，∵cosθ＝|cos〈n，u〉|＝，∴sinθ＝.故选C. 8．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BE＝D1F＝λ.设EF与AB所成的角为α，EF与BC所成的角为β，则α＋β的最小值为(　　) A．不存在 B. C. D. 答案　C 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E(1，1，λ)，F(0，0，1－λ)，则＝(－1，－1，1－2λ)，＝(0，1，0)，＝(－1，0，0)，∴cosα＝＝，cosβ＝＝，∴α＝β.又当λ＝时，取得最大值，∴αmin＝βmin＝，∴(α＋β)min＝. 二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式结果为零向量的是(　　) A.＋2＋2＋ B．2＋2＋3＋3＋ C.＋＋ D.－＋－ 答案　BD 解析　对于A，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；对于B，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；对于C，原式＝，不符合题意；对于D，原式＝(－)＋(－)＝0.故选BD. 10．空间直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，0，1)，D(1，0，1)，E(5，6，－4)，则(　　) A.＝4－3 B．A，B，C，E四点共面 C．向量是平面ABC的一个法向量 D．OE与平面ABE所成角的余弦值为 答案　BC