第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 (教师独具内容) 课程标准：1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 教学重点：几种距离的求法． 教学难点：用向量方法求空间距离． 核心素养：1.通过学习利用向量方法计算空间中的距离，提升数学运算素养.2.在学习点到直线的距离、点到平面的距离、两平行直线间的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离相互转化的过程中，提升数学抽象和直观想象素养． 知识点　空间距离及向量求法 距离的分类 向量求法 点到直线的距离　 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，设＝a，则＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝ 点到平面的距离　 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝＝＝ 1．两条平行直线a，b之间的距离 如图1，两条平行直线a，b之间的距离可以看成直线b上一点A到直线a的距离，则d＝，其中A∈b，B∈a，a是直线a的方向向量． 2．异面直线a，b之间的距离 如图2，设A∈a，B∈b，与两条直线的方向向量都垂直的向量为n，则异面直线a，b之间的距离为向量在n方向上投影向量的模，即d＝. 3．直线到平面的距离、两平行平面间的距离都可转化为点到平面的距离 如图3，直线l到平面α的距离可转化为直线l上一点A到平面α的距离，即直线l到平面α的距离d＝. 如图4，与平面α平行的平面β到平面α的距离等于平面β上一点A到平面α的距离，即d＝. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点A是直线l外一点，若AB是直线l的垂线段，则AB的长度就是点A到直线l的距离．(　　) (2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．(　　) (3)若平面α∥β，则两平面α，β间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到直线BC的距离为(　　) A. B．2 C．3 D．4 (2)设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________． 答案　(1)D　(2) 题型一　点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 例1　在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求点O1到直线AC的距离． [解]　解法一：连接AO1，建立如图1所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)， ∴＝(－2，0，2)，＝(－2，3，0)， ∴·＝(－2，0，2)·(－2，3，0)＝4， ∴＝， ∴点O1到直线AC的距离 d＝＝. 解法二：建立如图2所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D， 设D(x，y，0)，则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y，0)． ∵＝(－2，3，0)，⊥，∥， ∴解得 ∴＝， ∴||＝＝. 即点O1到直线AC的距离为. 感悟提升 向量法求点到直线的距离的两种思路 (1)直接套用点到直线的距离公式求解的步骤：建立空间直角坐标系→直线的方向向量a→所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量a上的投影向量的长度→代入公式． 注意平行直线之间的距离与点到直线的距离之间的转化． (2)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题，即利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模． [跟踪训练1]　正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为A1B1，A1A的中点．求直线EF与C1D之间的距离． 解　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， ∴A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，A(0，0，0)，C1(2，2，2)，D(0，2，0)， ∵E，F分别为A1B1，A1A的中点， ∴E(1，0，2)，F(0，0，1)， ∴＝(－1，0，－1)，＝(－2，0，－2)， ∴＝2，故∥，∴C1D∥EF. 由于直线C1D与EF平行， ∴F到直线C1D的距离即为直线EF与C1D之间的距离， ∵＝(0，2，－1)， ∴在上的投影向量的长度为 ＝ ＝＝， ∴点F到直线C1D的距