第05讲 导数与不等式的证明-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第5讲　导数与不等式的证明 讲义设计提纲： 命题分析 导数中的不等式证明作为高考常考点,也是学习中的难点，这类题目常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合进行考查,题目难度较大,解题方法多种多样且灵活多变，考生常常感到无处下手。 不等式证明问题的核心思想是构造函数，常用到的方法有做差构造、双函数构造、放缩构造、换元构造、消元构造等方法，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果． 类型一：单变量不等式的证明 考向1 做差构造法 例1(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝1时，令g(x)＝.证明：当x>0时，g(x)>1. 【对点演练1】已知函数.证明：当x≥1时，. 考向2　双函数构造法 例2(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明f(x)－＋2e≤0. 【对点演练】　(2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝ex＋x2－x－1. (1)求f(x)的最小值； (2)证明：ex＋xln x＋x2－2x>0. 考向3放缩构造法 切入点1：从参数范围切入 例3　已知函数,证明:当时,. （2）已知函数,若,证明:. 【对点演练1】已知函数，当时，证明． 【对点演练2】已知函数,当时, 证明：. 切入点2：从函数不等式入手 对于一些无参不等式的证明,特别是同时包含指数函数、对数函数的不等式,我们通常需要用常用指数不等式和常用对数不等式放缩为幂函数,从而实现函数简化,进而方便计算和求解. 例4证明:. 【对点演练1】设函数，证明： 【对点演练2】设.证明:当时,. 类型二 双变量不等式的证明 考向1 分离变量构造 例5已知函数。 （1）讨论函数的单调性； （2）设，证明：对任意，∈（0，+∞），。 考向2 换元构造 例6（哈尔滨四模)已知函数f(x)＝ax＋1(x>0)，g(x)＝ln x－＋2a. (1)若a＝，比较函数f(x)与g(x)的大小； (2)若m>n>0，求证：>. 【对点演练】已知函数有两个不相等的极值点． （1）求实数的取值范围； （2）设函数两个不相等的极值点分别为，， 求证：； 考向3 消元构造函数 例7已知函数f（x）＝xln x. （1）判断f（x）的单调性； （2）设方程f（x）－2x＋1＝0的两个根分别为x1，x2，求证：x1＋x2＞2e. 【变式演练】已知函数        (1)求的极值;        (2)若,,,,证明: 类型三 求和（积）型不等式的证明 例8（2022·四川·石室中学高三期末）已知函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是，且（且），． （1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）对任意的正整数，当]时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设四边形的面积是，求证：． 【对点演练】（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，，，. （1）求的解析式； （2）求证：时，； （3）求证：. 例9．（2023·云南红河·统考二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)设，，证明：． 【对点演练1】已知函数. （1）证明：时，； （2）证明：. 【对点演练2】（2022·全国·高三课时练习）已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）求证：对任意的且，都有：． （其中为自然对数的底数）． 1.已知函数f(x)=ax+xln x在x=e-2(e为自然对数的底数)处取得极小值. (1)求实数a的值; (2)当x>1时,求证:f(x)>3(x-1). 2.已知函数f（x）＝xex－bxln x－x2（b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2e－3.证明：当x＞1时，f（x）＞xex－x2＋1. 3.已知函数f(x)=aln x+x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a=1时,证明:xf(x)<ex. 4.已知函数f(x)=,g(x)=,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+n=0. (1)求m,n的值; (2)证明:f(x)>2g(x)-1. 5.(2023·淄博模拟)已知函数f(x)＝ex－x－1. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)当x≥0时，求证：f(x)＋x＋1≥x2＋cos x. 6.已知函数f(x)＝xln x－ax. (1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立． 7.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取