第二章 直线和圆的方程 2.4.2 圆的一般方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（人教A版）

第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 2.4.2　圆的一般方程 (教师独具内容) 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点． 教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题． 核心素养：通过推导圆的一般方程并运用方程解决问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养． 核心概念掌握 D2＋E2－4F>0 D2＋E2－4F<0 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 知识点二　用待定系数法求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 1．判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 3.求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，设出动点M的坐标(x，y)； (2)列出点M满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程2x2＋y2－7y＋5＝0表示圆．(　　) (2)方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0表示圆．(　　) (3)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．(　　) (4)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　　) √ × × × 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 2．做一做 (1)圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16 (2)方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________． (3)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－1，2)为圆心，3为半径的圆，则D＝________，E＝________，F＝________． (4)过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为_______________________． C m＜1 2 －4 －4 x2＋y2－3x－4y＝0 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 核心素养形成 解 题型一　圆的一般方程的定义 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 解 [跟踪训练1]　下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋y＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解　 (1)∵D＝1，E＝1，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝－2<0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点(－a，0)． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 解 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 解 题型二　求圆的一般方程 例2　(1)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且圆心在x轴上，求圆的方程． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 解 (2)(2022·全国乙卷改编)求过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程． 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 解 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 感悟提升 待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知