第一章 空间向量与立体几何 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（人教A版）

章末复习 知识系统整合 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 规律方法收藏 一、空间向量及其运算 1．空间向量的概念 (1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量．零向量是方向任意、长度为0的向量．两个向量相等的充要条件是它们的方向相同且模相等． (2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示．向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 2．空间向量的运算 (1)空间向量可以进行加、减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算性质基本相同．在向量的数量积运算中，不满足结合律． (2)空间向量可以进行代数运算、几何运算．代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 三、运用向量方法研究平行与垂直 用向量表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，直线l1的方向向量为b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．(以下相同) 线线平行：l∥l1⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． 线线垂直：l⊥l1⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 线面平行：若l⊄α，则l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. 线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a＝λμ⇔a1＝λa3，b1＝λb3，c1＝λc3(λ ∈ R)． 面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4(λ ∈ R)． 面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 3．求平面与平面的夹角 用向量法求平面与平面的夹角也有两种方法：一种方法是利用二面角的平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小，若二面角为锐角，则平面与平面的夹角为该角，若二面角为钝角，则平面与平面的夹角为它的补角；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与平面与平面的夹角的大小相等或互补． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 学科素养培优 一、空间向量及其运算 本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向量基本定理，两个向量的数量积，这是学习空间向量与立体几何的基础，也是空间向量与立体几何的重点内容，通过本部分的学习我们就可很方便地使用向量工具，证明线与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和空间距离，把几何问题转化为向量代数运算． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 空间向量的线性运算 选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 解 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 2　空间向量的数量积 正确运用空间向量数量积公式及性质求角及距离． (1)空间向量a，b的数量积a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉． (2)空间向量的数量积的性质 ①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a. 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 解 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 解 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 解 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 解