专题09 二项分布、超几何分布、正态分布-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题09二项分布、超几何分布、正态分布 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：n重伯努利试验的判断 考点二：n重伯努利试验的概率 考点三：二项分布的均值与方差 考点四：超几何分布的概率计算 考点五：超几何分布的分布列 考点六：超几何分布的综合应用 考点七：正态曲线及性质 考点八：利用正态分布的对称性求概率 考点九：正态分布的实际应用 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 一、n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 二、二项分布的推导 二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 三、二项分布的均值与方差 1．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 2．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 四、超几何分布 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 五、正态曲线及其特征 1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 4．正态曲线的特点： (1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1. (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 六、利用正态分布的性质求概率 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 【方法技巧】 1.n重伯努利试验概率求法的步骤 (1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验． (2)求成功概率：求出一次试验的概率． (3)计算：依据n重伯努利试验的概率公式求解，复杂问题还要利用概率加法公式或乘法公式计算． 2.二项分布问题的两个关注点 (1)判断：关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． (2)参数意义：X～B(n，p)中n为试验次数，p为成功概率． (3)公式用途：公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n次独立重复试验发生k次的概率． 3.常见的两种分布的均值 设p为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布：E(X)＝p，D(X)＝p(1－ p). (2)二项分布：E(X)＝np, D(X)＝np(1－ p). 熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度． 4.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 5.求超几何分布模型的概率的关注点 (1)关键：分析随机变量是否满足超几何分布．若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解． (2)注意：公式中M，N，n的含