第六章 概率 1.2 乘法公式与事件的独立性-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

1.2　乘法公式与事件的独立性 (教师独具内容) 课程标准：1.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系． 教学重点：1.理解并掌握乘法公式.2.了解条件概率与独立性的关系． 教学难点：应用条件概率与独立性的关系解决简单实际问题． 核心素养：1.通过应用乘法公式计算概率，培养数学抽象及数学运算素养.2.通过应用相互独立事件的乘法公式解决问题，培养数学建模及逻辑推理素养． 知识点一　乘法公式 由条件概率的定义P(B|A)＝，则有P(AB)＝P(A)P(B|A)(其中P(A)>0)．①　同理，P(AB)＝P(B)P(A|B)(其中P(B)>0)．②　称公式①②为乘法公式． 知识点二　相互独立事件 (1)如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件． (2)事件A与事件B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)． 1．当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)． 2．若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立． 3．若A，B为相互独立事件，则P(AB)＝P(A)·P(B)，该性质可推广为：若A1，A2，A3，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于各个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 4．P(AB)＝P(A)P(B)使用的前提是A，B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于这两个事件发生的概率的积． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．(　　) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．(　　) (3)当P(A)＞0时，如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(A)．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________． (2)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则该产品的正品率为________． (3)已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________，P(|)＝________． 答案　(1)　(2)(1－a)(1－b)　(3)　 题型一　乘法公式的应用 例1　10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，甲先，乙次，丙最后．求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率； (4)甲、乙、丙都抽到难签的概率． [解]　设事件A，B，C分别表示甲、乙、丙抽到难签． (1)P(A)＝＝. (2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. (3)P(B)＝P()P(B|)＝×＝. (4)P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝××＝. 感悟提升 由条件概率公式P(B|A)＝，可推导得出乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)(P(A)>0)．即要求A，B事件同时发生的概率，需建立缩小的事件空间，再由概率相乘可得． [跟踪训练1]　在标有1，2，3，4，5这5个数字的卡片里，无放回地抽取两次，一次一张，求： (1)第一次取到奇数卡片的概率； (2)已知第一次取到偶数卡片，求第二次取到奇数卡片的概率； (3)第二次才取到奇数卡片的概率． 解　设事件A，B分别表示第一次和第二次取到奇数卡片． (1)P(A)＝. (2)第一次取出一张偶数卡片，还剩4张卡片，而其中有3张奇数卡片，故此时取一张奇数卡片的概率为，即P(B|)＝. (3)∵第二次才取到奇数卡片，∴第一次应取偶数卡片，即第一次发生，故{第二次才取到奇数卡片}应是与B同时发生，∴P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 题型二　事件独立性的判断 例2　判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)已知P(A|B)＝0.6，P()＝0.4，判断事件A与B是否独立； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的球是白球”； (3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． [解]　(1)P(A)＝1－P()＝0.6＝P(A|B)． 所以事件A与B是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的球是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件． (3)设事件A表示“出现偶数点”，事件B表示“出现3点或6点”，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，