1.2乘法公式与事件的独立性课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.2乘法公式 知识回顾 1、条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记作，简称条件概率. 2 1.了解事件的相互独立性以及乘法公式的推导过程，达到数学抽象核心素养的要求； 2.掌握求乘法公式，达到数学运算核心素养的要求； 3.能利用乘法公式解决一些简单的实际问题，达到数学建模核心素养的要求。 环节一 条件概率与事件相互独立性的关系 问题3：在问题1和问题2中，都有P(B|A) ≠ P(B). 一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等. 如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件? 直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)＝P(B)成立. 事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)＝P(A)P(B)，且P(A)>0，则 反之，若P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0，则 即事件A与B相互独立. 2、条件概率与事件相互独立性的关系 2、条件概率与事件相互独立性的关系 条件概率与事件独立性的关系： 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B). 利用相互独立事件的定义（P（AB）＝P（A）P（B））可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法判断，因此我们必须熟练掌握. 判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件. 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形，讨论A与B的独立性： （1）家庭中有两个小孩； [自主解答] （1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，它有4个基本事件，由等可能性知这4个基本事件的概率各为，这时A＝{（男，女），（女，男）}，B＝{（男，男），（男，女），（女，男）}，AB＝{（男，女），（女，男）}，于是P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，由此可知P（AB）≠P（A）P（B），所以事件A，B不相互独立. 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形，讨论A与B的独立性： （2）家庭中有三个小孩. （2）有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件.于是P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝，显然有P（AB）＝＝P（A）P（B）成立.从而事件A与B是相互独立的. 2.投掷一枚均匀的骰子一次，设A＝“出现偶数”，B＝“出现3点或6点”，判断事件A与B是否相互独立. 解析　出现偶数的概率为P（A）＝＝， 出现3点或6点的概率P（B）＝＝，故P（A）P（B）＝×＝， 事件AB为“既出现偶数又出现3点或6点”，即“出现6点”，故P（AB）＝，从而有P（A）P（B）＝P（AB），因此A与B是相互独立的. 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲种保险与购买乙种保险相互独立. （1）求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； （1）记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB， 所以P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.6＝0.3. （2）求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率. 解答：记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.6. （2）记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝B， 所以P（D）＝P（B）＝P（）P（B）＝（1－0.5）×0.6＝0.3. 3.小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求： （1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率； （1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P（BC）＋P（AC）＋P（AB）＝P（）P（B）P（C）＋P（A）P（）P（C）＋P（A）P（B）P（）＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. （2）这三列火车至少有一列