第六章 概率 3.1 离散型随机变量的均值-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

3.1　离散型随机变量的均值 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，理解离散型随机变量的均值． 教学重点：1.求离散型随机变量的均值.2.求两点分布的均值． 教学难点：用离散型随机变量的均值解决相关的实际问题． 核心素养：1.通过学习离散型随机变量的均值及其意义，发展数学抽象素养.2.通过利用离散型随机变量的均值解决实际问题，培养数学建模及数学运算素养． 知识点一　离散型随机变量的均值 设离散型随机变量X的分布列如下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)． 均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征． 知识点二　两点分布的均值 当随机变量X服从参数为p的两点分布时，其均值EX＝p． 离散型随机变量均值的几个常用结论 (1)E(aX＋b)＝aEX＋b； (2)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2； (3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝EX1·EX2. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　) (3)若两个随机变量的均值相同，则这两个随机变量的分布一定相同．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)若随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 P 0.2 0.3 m 则Y的数学期望EY＝________． (2)设随机变量X服从两点分布，且EX＝0.4，则p＝________． 答案　(1)1.3　(2)0.4 题型一　求离散型随机变量的均值 例1　袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的均值． [解]　取出4只球颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为 P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝， P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝. 随机变量ξ的分布列为 ξ 5 6 7 8 P 所以Eξ＝5×＋6×＋7×＋8×＝. 感悟提升 求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步： (1)确定ξ的可能取值； (2)计算出P(ξ＝k)； (3)写出分布列； (4)利用均值的计算公式计算Eξ. [跟踪训练1]　盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值． 解　X的所有可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××1＝. 抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P 所以EX＝1×＋2×＋3×＝. 题型二　已知均值求参数 例2　某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其概率分布列如表，均值EX＝2，则ab＝________． X 0 3 6 P a b [解析]　根据题意可得方程组解得从而ab＝. [答案]　 感悟提升 已知均值求参数的方法 利用分布列的性质以及均值的计算公式建立方程组求解． [跟踪训练2]　一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由均值是2，得3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2.∴＋b＝1，∴＋＝＝3＋＋＋≥＋2＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴＋的最小值为. 题型三　离散型随机变量均值的实际应用 例3　某柑橘基地因冰雪灾害导致果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施． 若实施方案一，预计当年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3，0.3，0.4；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5，0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2，0.3，0.5；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4，0.6. 无论实施哪种方案，第二年与第一年柑橘的产量都相互独立． 令Xi(i＝1，2)表示方案i实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数． (1)写出X1，X2的分布列； (2)实施哪种方案可使两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？ (3)不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产量达不到灾前产量，预计可带