第五章 计数原理 4.1 二项式定理的推导-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

4.1　二项式定理的推导 (教师独具内容) 课程标准：1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 教学重点：二项式定理的内容及其归纳过程． 教学难点：应用二项式定理解决问题． 核心素养：通过对二项式定理的学习，培养数学抽象、逻辑推理及数学运算素养． 知识点　二项式定理及其相关概念 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(k＝0，1，2，…，n)，称为二项式定理．上式可简写成(a＋b)n＝Can－kbk(k＝0，1，2，…，n)． 等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有(n＋1)项，其中各项系数C(k＝0，1，2，…，n)称为二项式系数，式中的Can－kbk用Tk＋1表示，称为二项展开式中第(k＋1)项，又称为二项式通项，记作Tk＋1＝Can－kbk． 1．注意区分项的二项式系数与系数的概念 二项展开式的第k＋1项的二项式系数是C，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第k＋1项的系数则是二项式系数C与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C，而第二项的系数则是C24. 注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数． 2．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n的展开式中共有n项．(　　) (2)(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同．(　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)的展开式中的第4项是________． (2)的展开式为________． (3)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________． 答案　(1)－560x10　(2)1＋＋＋＋ (3)10 题型一　二项式定理的正用与逆用 例1　(1)写出的展开式． [解]　解法一：＝C()4＋C()3＋C()2＋C＋C＝x2－2x＋－＋. 解法二：＝＝·(2x－1)4＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋－＋. (2)若f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，求f(2023)－f(－2023)的值． [解]　根据f(x)的解析式，逆用二项式定理，得f(x)＝[(x－1)＋1]4＋3＝x4＋3.显然f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以f(2023)－f(－2023)＝0. 感悟提升 二项式定理的双向功能 (1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律． [跟踪训练1]　(1)用二项式定理展开. 解　解法一：＝(3)4＋C·(3)3·＋C(3)2＋C(3)·＋C＝81x2＋108x＋54＋＋. 解法二：＝ ＝(1＋3x)4 ＝[1＋C(3x)＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC. 解　1＋2C＋4C＋…＋2nC＝C＋21C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n. 题型二　利用二项式定理求某些特定项或特定项的系数 例2　已知的展开式中第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数及二项式系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解]　(1)由题意，得Tk＋1＝C()n－k·＝(－1)kCx(k＝0，1，2，…，n)． ∴T6＝T5＋1＝(－1)5·Cx. 又第6项为常数项，∴＝0，∴n＝10. (2)由(1)知Tk＋1＝(－1)kCx， 令＝2，得k＝2. ∴含x2的项的系数为(－1)2··C＝. 含x2的项的二项式系数为C＝45. (3)若Tk＋1为有理项，则为整数， 其中0≤k≤10，k∈Z. ∴10－2k＝0或10－2k＝6或10－2k＝－6， 解得k＝5或k＝2或k＝8. ∴有理项为T3＝Cx2＝x2， T6＝C＝－， T9＝Cx－2＝x－2. 感悟提升 求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)． (1)第m项：此时k＋1＝m，求出k，代入通项； (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3