第五章 计数原理 3.1 组合-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

3.1　组合 (教师独具内容) 课程标准：通过实例，理解组合的概念． 教学重点：组合的概念． 教学难点：用两个计数原理分析和解决一些简单的与组合有关的实际问题． 核心素养：1.通过学习组合的概念，培养数学抽象素养.2.通过利用两个计数原理解决与组合有关的实际问题，培养逻辑推理素养． 知识点一　组合的概念 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 知识点二　组合问题的概念 我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题． 知识点三　排列与组合之间的联系与区别 (1)联系：两者都是关于从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的计数问题． (2)区别：排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序． 也就是说：只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合． 组合的定义包含两个基本内容：一是“取出对象”；二是“合成一组”，表示与对象的顺序无关，因此区分某一问题是组合问题还是排列问题，关键是看取出的对象有无顺序． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)3个相同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是排列问题．(　　) (2)3个不同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是组合问题．(　　) (3)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的不同选法种数是3.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)4种不同的种子，选出3种种在3块不同的土地上，每一块地只能种一种，则不同的种法有________种． (3)从3名女生、4名男生中选4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种． 答案　(1)20　(2)24　(3)34 题型一　组合的有关概念 例1　给出下列问题： (1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (2)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (3)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ (4)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ [解]　(1)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题． (2)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (3)冠亚军是有顺序的，是排列问题． (4)命中的4枪均为2枪连中，为相同的对象，没有顺序，是组合问题． (5)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 感悟提升 判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个对象的先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题． [跟踪训练1]　判断下列问题是排列问题，还是组合问题： (1)从集合A＝{－1，1，10，8，6，4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A＝{－1，1，10，8，6，4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？ (3)有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？ 解　(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此，此问题只与取出的对象有关，与对象的顺序无关，故是组合问题． (2)从集合A中取出两个数相除，若改变其除数、被除数的位置，其结果就不同，因此其商的值与对象的顺序有关，是排列问题． (3)由于从7人中选出4人去观看电影，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发件人与收件人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 题型二　简单的组合问题 例2　已知A，B，C，D，E 5个元素，写出每次取出3个元素的所有组合． [解]　可按AB→AC→AD→BC→BD→CD的顺序写出，如图． 所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 感悟提升 借助“字典排序法”列出一个具体问题的组合，直观、简洁，而且避免了重复或遗漏．但需注意：若用“树形图法”，当前面的元素写完后，后面不能再出现该元素，这是与排列问题的一个不同之处． [跟踪训练2]　某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ 解　因为“甲站到乙站”与“乙站到甲站”车票是不