第五章 计数原理 2.2 排列数公式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

2.2　排列数公式 (教师独具内容) 课程标准：能利用计数原理推导排列数公式． 教学重点：1.进一步加深对排列概念的理解.2.排列数公式． 教学难点：几种有限制条件的排列问题的处理方法，应用排列数公式解决简单的实际问题． 核心素养：通过应用排列数公式解决实际问题，提升逻辑推理及数学运算素养． 知识点　排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)](m≤n，且m，n∈N＋)，这个公式叫作排列数公式． (1)当m＝n时，A＝n(n－1)·(n－2)·…·2·1，记作n！，读作：n的阶乘． (2)规定：A＝1，0！＝1． 1．排列数公式的阶乘形式 A＝(m≤n，且m，n∈N＋)． 2．解决排列应用问题常用的方法 (1)直接法：先满足特殊对象的要求，再考虑一般对象(又称为对象分析法)；或先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)． (2)排除法：先计算出无限制条件的所有排法种数，然后再减去不符合条件的排法种数． (3)对不相邻问题采用“插空法”，对相邻问题采用“捆绑法”． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用6，7，8，9这四个数字可以组成的无重复数字的四位数有24个．(　　) (2)若A＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6.(　　) (3)从1，2，3中任选两个数相除可以得到的不同的结果数为6.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)9×10×11×…×20可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A (2)沿途有四个车站，这四个车站之间需要准备________种不同的车票． (3)一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种． 答案　(1)C　(2)12　(3)20 题型一　排列数计算问题 例1　(1)将(x－2)(x－3)(x－4)·…·(x－15)(x∈N＋，x>15)用排列数表示； (2)计算：； (3)解方程：A＝140A； (4)化简：； (5)化简：1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！； (6)化简：＋＋＋…＋. [解]　(1)由题意x∈N＋，x>15. 其中最大的数(x－2)为n，则m＝(x－2)－(x－15)＋1＝14. 所以(x－2)(x－3)(x－4)·…·(x－15)＝A. (2) ＝ ＝＝1. (3)根据原方程，x应满足 解得x≥3，x∈N＋. 根据排列数公式，原方程可化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)． 又x≥3，两边同时除以4x(x－1)， 得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)， 即4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝(舍去)． 故原方程的解为x＝3. (4)原式＝·(n－m)！·＝·(n－m)！·＝1. (5)原式＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1. (6)∵＝－， ∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－. 感悟提升 解排列数计算问题的三个注意事项 (1)排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数． (2)排列数公式的阶乘形式的主要作用为对含有字母的排列数的式子进行变形． 注意常用变形A＝nA，nA＝A－A(n·n！＝(n＋1)！－n！)的应用． (3)计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，先提取公因式化简，再计算，可以减少运算量． A中隐含了三个条件：m∈N＋，n∈N＋，m≤n，A的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围． [跟踪训练1]　(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n<55)； (2)计算：； (3)解方程：3A＝4A； (4)解不等式：A<6A. 解　(1)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A. (2)解法一：＝＝＝5. 解法二： ＝＝5. (3)由题意可知， 解得1≤x≤8. 方程可化为3×＝4×， 化简得3＝， 即x2－19x＋78＝0， 解得x1＝6，x2＝13(舍去)． 故原方程的解是x＝6. (4)由题意可知，解得2≤x≤8. 原不等式可化为<6×， 化简得1<， 即x2－19x＋84<0，解得7<x<12. 故7<x≤8. 又x∈N＋，所以x＝8. 题型二　数字问题 例2　用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)六位数且是奇数； (2)个位上的数字不是5的六位数； (3)不大于4310的四位数且是偶数． [解]　(1)解法一：从特殊位置入手(直接法)