第四章 1-2 数学建模活动（三）-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

以“用电磁炉烧水如何设置功率最省电”为例做结题报告，如下表： 课题名称 用电磁炉烧水如何设置功率最省电 课题组成员及分工 全组共同制定研究计划，商讨确定数学模型： 同学甲(组长，侧重组织讨论，把握工作方向)； 同学乙、丙(准备实验器材，进行实验操作，采集信息、计算整理数据) 选题的意义 现如今电磁炉走进了千家万户，成为人们日常重要的加热工具之一．电磁炉以有用效率高著称，但在倡导节约型社会的今天希望尽可能多的减少热损耗，到底如何使用才更省电，不同人有着不同的认识，希望通过本次实验研究统一认识，得到合理的正确的使用方法 研究计划(包括对选题的分析、解决问题的思路等) 此课题的研究从正确使用到节能都有积极的意义，并且利用所学物理和数学知识能够得到解决．解决问题的思路： 1.明确实验原理： η＝，式中P指电磁炉设定功率， t指烧水时间，c指物质的比热容， m为物质的质量，ΔT为物质的温度变化量； 2.准备实验器材：电磁炉、不锈钢锅、计时器、温度计(泡沫固定)、量筒等； 3.收集实验数据； 4.分析处理实验数据． 找到电磁炉功率和有用效率的关系 研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程以及过程中出现的难点及解决方案等) 一、概念界定 有用效率：电磁炉的有用效率是指将物质从某一温度加热到另一温度时，物质增加的内能与电磁炉消耗的总电能的比值．数学表达式为η＝，式中P指电磁炉设定功率，t指烧水时间，c指物质的比热容，m为物质的质量，ΔT为物质的温度变化量． 二、分析问题 以电磁炉烧水为例，通过查找资料和对烧水的过程进行分析，我们可以得出电磁炉在烧水时的能量损耗主要来自以下几个方面： 1.烧水时面板和容器增加的内能． 2.面板和容器对周围空气的热传导，热对流，热辐射． 3.电磁炉内电阻等电子元件和线路因电流的热效应损失的热能． 4.电磁炉内部的散热系统工作时消耗的电能(风机工作)． 所以我们提出了以下假设： 1.功率越大越省电？ 因为水的内能增加量Q是一定的，电磁炉设定的功率W越大，所用的时间t越短，所以热损耗的能量越少． 2.锅越小越省电？ 因为锅越小，和空气接触的散热面越小，可以减少能量的损耗． 3.一次烧水越少越省电？ 因为单次烧的水如果较少，就可以大大节省烧水的时间，可以有效减少热损耗. 在以上的三个假设中,第二个假设牵涉变量太多,用已学过的知识不能解决,而第三个假设中,由于烧水的多少和人们的使用需求量有关,没有实际的探讨意义.所以后面主要对第一个假设进行实验和探讨. 研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程以及过程中出现的难点及解决方案等) 三、实验探究 为了探究有用效率与电磁炉耗电功率的关系，我进行了以下实验． (一)实验目的：探究用电磁炉烧水时，电磁炉耗电功率与有用效率之间的关系． (二)实验原理：使用同一个电磁炉，以不同的功率烧同一口锅装的同等质量的水，由某一温度加热到另一温度，计算电磁炉烧水时的有用效率．有用效率是指水增加的总内能与电磁炉消耗的总电能的比值．数学表达式为η＝，式中P指电磁炉设定功率，t指烧水时间，c水指水的比热容，m为水的质量，ΔT为水的温度变化量． (三)实验器材：奔腾pc22n－b电磁炉、自来水若干、直径为22 cm的不锈钢锅一个、停表、温度计、量筒、泡沫塑料(用来固定温度计)(如下图)． (四)实验步骤 1．将奔腾pc22n－b电磁炉平放在桌面上，接通电源，组装器材如右图； 2.向不锈钢锅中加入2000 mL水，用温度计测量水的初温T1，打开电磁炉电源开关并迅速将模式调至烧水模式，选择600 W的使用功率烧水，同时按下停表开始计时．当水温增加至T2(98 ℃)时，按下停表结束计时，关闭电磁炉电源，读出停表的读数t.待锅、电磁炉面板、温度计冷却后重复上述步骤，再做三遍； 3.再依次选择800 W、1000 W、1200 W、1400 W、1800 W、2200 W的使用功率，重复步骤2中的实验． (五)实验数据记录与分析 实验数据如下表： 功率P (W) 次数 水的质量 m(kg) 时间t (s) 初温T1 (℃) 末温T2 (℃) 温度变化 量ΔT(℃) 总功W (J) 水的内能 增加量Q(J) 烧水的 有用效率 平均有用效率 600 1 2 1599 12.2 98.0 85.8 959400 717288 74.8% 74.6% 600 2 2 1602 12.4 98.0 85.6 961200 715616 74.5% 600 3 2 1610 12.0 98.0 86.0 966000 718960 74.4% 600 4 2 1590 1