第三章 空间向量与立体几何 5 数学探究活动（一）：正方体截面探究-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

　课堂探究 研究方法 先进行猜想，再利用土豆或萝卜通过切割实验研究，再利用计算机进行模拟实验，证明，得出结论． 我们知道正方体有六个面，用一个平面去截正方体至少要经过三个面，最多经过六个面，所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形．对于一个几何体，不同切截方式所得截面可能出现不同的情况，下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状． 一、截面是三角形 用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形． 1.等腰(边)三角形 如图，一正方体被一平面所截后得到截面GEF，只要B1E＝B1F，就有GE＝GF，△GEF就是等腰三角形； 只要B1E＝B1F＝B1G，就有GE＝GF＝EF，△GEF就是等边三角形． 2.锐角三角形 若一正方体被一平面截后∠GEF是直角，那么GE⊥EF，又因为GB1⊥EF，所以EF⊥面GB1E，所以EF与FB1重合，即点E与点B1重合，矛盾，所以截面不会是直角三角形；因为GF＞GB1，EF＞EB1，所以GF2＋EF2＞GE2，所以∠GFE为锐角，同理其他角也为锐角，所以截面是锐角三角形，不会是直角或钝角三角形． 3.最大面积的三角形截面 二、截面是四边形 当平面经过正方体四个面时，所得截面形状是四边形——平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；截面不能是直角梯形． 1.正方形 正方体六个表面都是正方形，只要用一平行于其中一个表面的平面去截正方体，就可以得到正方形截面． 2.长方形 取正方体一棱AB，作平行于AB的平面就可以得到一个矩形截面，长宽不等就是长方形． 3.菱形 如图，当E，F分别为AB，D1C1的中点时，四边形A1ECF为菱形；当E，F不是AB，D1C1的中点且D1F＝BE时，四边形A1ECF为一般的平行四边形． 4.梯形 用一平面从正方体上表面截下，与下底面相交，因为上下两底面平行，由面面平行的性质定理可得EH∥FG，只要EH≠FG，所以可截得梯形； 当D1E＝D1H，DG＝DF时，EG＝HF，所以可截得等腰梯形； 截面不可能是直角梯形，证明：若∠HFG＝90°，又由正方体性质可得AD⊥HF，所以HF⊥面ABCD，所以HF∥AA1，所以AA1∥面EGFH，所以AA1∥EG，所以HF∥EG，与截面是梯形矛盾． 三、截面是五边形 当平面经过正方体五个面时，所得截面形状是五边形． 截面可以是五边形；截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，所以截面五边形不可能是正五边形． 四、截面是六边形 当平面经过正方体六个面时，所得截面形状是六边形． 截面可以是六边形，截面六边形必有分别平行的边，同时有两个角相等；当E，F，G，H，I，J分别是所在边的中点时，六边形EFGHIJ即为正六边形． 截面边数最多的是六边形，用一个平面截正方体，由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形或更多边形． 总结 截面可以是三角形，等腰、等边三角形，锐角三角形，不可能有直角三角形和钝角三角形； 截面可以是四边形，一般平行四边形，菱形，正方形，矩形，梯形，等腰梯形，不可能有直角梯形； 截面可以是五边形，但不可能是正五边形； 截面可以是六边形，可以是正六边形； 不可能有七边形或更多边形. 5 学科网（北京）股份有限公司 $