3.4.2用向量方法研究立体几何中的度量关系（二）课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§3.4.2　用向量方法研究立体几何中的度量关系（二） 1 聚焦知识目标 1．能用向量语言表述二面角平面角．(重点) 2．能用向量方法求二面角大小以及相关应用．(重点、难点) 数学核心素养 通过线线角和线面角求解问题，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养． 环节一 温故知新 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角 作“二面角的平面角”的三个要素：  (1)确定二面角的棱上一点；   (2)经过这点分别在两个半平面内引射线；   (3)所引的射线都垂直于棱.   二面角 二面角可为：零角、锐角、直角、钝角和平角. 二面角是直角的二面角叫做直二面角.  二面角大小的范围是:[0°,180°] 环节二 向量法研究二面角 向量法研究二面角 法向量的方向：   一进一出，二面角等于法向量夹角；   同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 向量法研究二面角 求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小. 向量法研究二面角 体验 若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成二面角的平面角等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.45° C.60° D.90° 解析因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成二面角的平面角等于90°. 向量法研究二面角 棱锥为载体 例1.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析如图所示，建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴AD =(0,1,0).取PD的中点E,则 = ,易知AD是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，COS<,>=,所以故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为45° .  向量法研究二面角 棱锥为载体 例2.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.求平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值. 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设直线SC与平面ASD所成的角为θ,则sinθ=故 即SC与平面ASD所成角的余弦值为 (2)易知平面SAB的一个法向量为=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由可得 令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD所成锐二面角的平面角为α，则COSα= ,即为平SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值. 向量法研究二面角 棱柱为载体 例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角的余弦值为　　　　　.  解析建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的 棱长为2,则D(2,0,0),A₁(0,0,2),E(0,2,1),则   设平面A₁ED的法向量为n=(x,y,z),  则  则 即   令y=1,得n=(2,1,2).  易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),  则   设平面A₁ED与平面ABCD所成的锐二面角的平 面角为θ，  则 向量法研究二面角 棱柱为载体 例4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角的正弦值为　　　　　.  解析以D为原点，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体  的棱长为2，则E(1,0,0),F(0,0,1),B(2,2,0),= (-1,0,1),  设平面EFC₁B的一个法向量n=(x,y,z),则 取x=2,得n=(2,-1,2). 平面 的一个法向量m=(0,1,0),设平面EFC₁B和平面 所成二面角的平面角为θ，则所以 环节三 应用二面角 应用二面角 例5. (1)证明∵四边形ABB1A1是菱形,则A1B⊥AB1,∵平面ABB1A1⊥平面ABC,且AB为交线,BC⊥AB,∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥A1B.∵BC∥B1C1,∴