第二章 圆锥曲线 3.2 抛物线的简单几何性质-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

3.2　抛物线的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解抛物线的简单几何性质.2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单问题． 教学重点：根据抛物线的方程、图形研究抛物线的几何性质． 教学难点：抛物线几何性质的应用． 核心素养：通过研究抛物线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养． 知识点　抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 性 质 焦点坐标 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 1．抛物线是圆锥曲线中最为特殊的一种曲线(e＝1)，由于抛物线上任一点到其焦点与到其准线的距离都是相等的，所以应充分利用图形及抛物线的定义进行相互转化，有利于灵活解题． 2．抛物线不是双曲线的一支，抛物线无渐近线． 抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的、有开口的光滑曲线，但是它们的图形性质是完全不同的，事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越大，而抛物线的开口越来越趋于扁平． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线没有渐近线．(　　) (2)抛物线有对称轴，无对称中心．(　　) (3)抛物线的开口大小由抛物线的离心率决定．(　　) (4)抛物线x2＝y与抛物线y2＝x的离心率相同．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)抛物线y＝x2的准线方程为________． (2)顶点在原点，对称轴为x轴，且顶点到焦点的距离为3的抛物线的标准方程为________． (3)已知点P在抛物线y2＝－5x上，且点A(－3，0)，则|PA|的最小值为________． 答案　(1)y＝－2　(2)y2＝12x或y2＝－12x (3) 题型一　由抛物线的几何性质求标准方程 例1　抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1的短轴所在的直线，抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，求抛物线的标准方程及准线方程． [解]　因为椭圆＋＝1的短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 因为抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，所以＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝－16x，准线方程分别为x＝－4或x＝4. 感悟提升 求抛物线的标准方程要明确四个步骤 (1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口方向)； (2)设方程(根据对称轴和开口方向设出标准方程)； (3)找关系(根据条件列出关于p的方程)； (4)得出抛物线的标准方程． [跟踪训练1]　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线的方程． 解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上． 故可设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)． 设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与点B关于x轴对称， ∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2， ∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，得x2＋3＝4， ∴x＝±1， ∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得()2＝±a，∴a＝±3. ∴所求抛物线的方程是y2＝3x或y2＝－3x. 题型二　与抛物线有关的轨迹问题 例2　若动圆与圆(x－5)2＋y2＝4外切，且与直线x＋3＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．y2＝－20x B．y2＝－10x C．y2＝20x D．y2＝10x [解析]　设圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为C1(5，0)，动圆圆心为P(x，y)，半径为r，如图，作直线x＝－5，x＝－3，PQ垂直于直线x＝－5，Q为垂足，因圆P与直线x＝－3相切，故圆P到直线x＝－5的距离|PQ|＝r＋2，又|PC1|＝r＋2，因此P到C1(5，0)的距离与P到直线x＝－5的距离相等，动圆圆心P的轨迹为抛物线，焦点为C1(5，0)，准线为直线x＝－5，顶点为(0，0)，开口向右，可得p＝10，方程为y2＝20x.故选C. [答案]　C 感悟提升 求抛物线轨迹的方法 抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离的条件，有时需要依据已知条件进行转化才