第二章 圆锥曲线 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019） ）

知识系统整合 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法收藏 一、求轨迹方程的几种常用方法 1．直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式． 2．代入法：利用所求曲线上的动点与某已知曲线上的一动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点坐标满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式． 3．定义法：如果所给几何条件正好符合椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． 4．参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程． 用参数求轨迹方程的关键在于选择适当的参数，其选择原则是： (1)动点的运动是随着参数的变化而变化的，即参数能反映动点的变化特征； (2)参数与题设的已知量有密切的联系．常用的参数有物理参数(时间、速度、位移)和几何参数(角度、有向线段的数量、斜率、点坐标)等． 二、待定系数法求圆锥曲线的标准方程 1．椭圆、双曲线的标准方程 求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当A<0时，焦点在y轴上，当B<0时，焦点在x轴上． 另外，在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免出错．如：与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 2．抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值． 三、求离心率的方法 1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数．这是基本且常用的方法． 2．方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率．这是求离心率十分重要的思路及方法． 3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观． 学科思想培优 一、圆锥曲线的定义、方程及性质 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如： (1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程； (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决． 总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用． [典例1]　(1)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，如果在椭圆上有一点Q，使∠F1QF2＝60°，试求椭圆的离心率的取值范围； (2)已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，且垂直于C2的两个焦点所在的坐标轴，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M. ①求抛物线C1的标准方程及其焦点F的坐标； ②求双曲线C2的标准方程及其离心率e. [解]　(1)解法一：设|QF1|＝m，|QF2|＝n， 则由椭圆的定义知m＋n＝2a. 在△F1QF2中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝|QF1|2＋|QF2|2－2|QF1|·|QF2|·cos60°. ∴4c2＝m2＋n2－mn.① 由m＋n＝2a两边平方得 4a2＝m2＋n2＋2mn，② 由②－①得4a2－4c2＝3mn， ∵m>0，n>0，且m＋n＝2a， ∴mn≤＝a2(当且仅当m＝n时等号成立)． ∴4a2－4c2＝3mn≤3a2. ∴a2≤4c2，≥.∴e2≥.∵0<