第二章 圆锥曲线 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019） ）

4.1　直线与圆锥曲线的交点 (教师独具内容) 课程标准：掌握利用对应方程解决圆锥曲线交点问题． 教学重点：用代数方法解决直线与圆锥曲线的交点问题． 教学难点：几何图形和代数方程的相互转化． 核心素养：通过学习直线与圆锥曲线的交点问题，提升逻辑推理及数学运算素养． 知识点　直线与圆锥曲线的交点个数 将问题转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数问题，进而转化为一元二次(或一次)方程解的情况去研究． ax2＋bx＋c＝0. 方程特征 交点个数 位置关系 直线与椭圆 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相离 直线与抛物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相离 直线与双曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 a≠0，Δ>0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ<0 0 相离 1．用数形结合的方法可以迅速判断某些直线与圆锥曲线的交点个数．尤其是在解决有关直线与双曲线的交点个数问题时，灵活利用直线与渐近线的位置关系可以快速解题． 2．直线与椭圆只有一个公共点是直线与该椭圆相切的充要条件；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的充分条件． 3．与圆锥曲线的切线有关的直线方程 椭圆 抛物线 双曲线 圆锥曲线的方程 ＋＝1 (a>b>0) y2＝2px(p>0) －＝1 (a>0，b>0) 曲线上一点P(x0，y0)处的切线方程 ＋＝1 y0y＝p(x＋x0) －＝1 从曲线外一点P(x0，y0)所引的两条切线的切点弦方程 ＋＝1 y0y＝p(x＋x0) －＝1 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．(　　) (2)直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立所得方程组的解的个数．(　　) (3)直线y＝x与双曲线x2－y2＝1有一个公共点．(　　) (4)直线y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1相交．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为________． (2)若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是________． (3)已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________． 答案　(1)1或0　(2)　(3) 题型一　直线与椭圆的交点问题 例1　(1)判断直线l：y＝x＋1与椭圆C：＋y2＝1的交点个数．若存在交点，求出交点的坐标；若不存在交点，求椭圆C上的点到直线l的最大距离． [解]　联立直线与椭圆的方程，得 方程组可化为 将①代入②得x2＋2(x＋1)2＝2，化简，得3x2＋4x＝0， Δ＝42－4×3×0＝16>0. 所以直线l：y＝x＋1与椭圆C：＋y2＝1有两个交点，且交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝－. 代入①得方程组的解为或 所以直线l与椭圆C的交点坐标为(0，1)，. (2)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： ①有两个公共点？ ②有且只有一个公共点？ ③没有公共点？ [解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.(*) 方程(*)的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. ①当Δ>0，即－3<m<3时，方程(*)有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点． ②当Δ＝0，即m＝±3时，方程(*)有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． ③当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程(*)没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 感悟提升 解决直线与椭圆的交点问题，可以将直线方程和椭圆方程联立，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式解答即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围． [跟踪训练1]　若直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1有两个公共点，求m的取值范围． 解　把直线方程y＝x＋m与椭圆方程＋y2＝1联立， 消去y，得到关于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0， 由Δ>0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)>0， 解得－<m<. 故m的取值范围为(－，)． 题型二　直线与