第一章 直线与圆 1.4 两条直线的平行与垂直-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019） ）

1.4　两条直线的平行与垂直 (教师独具内容) 课程标准：能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 教学重点：理解直线平行或垂直的判定条件． 教学难点：平行、垂直问题的综合应用． 核心素养：通过学习两条直线平行和垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 知识点一　两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔k1＝k2． (2)若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合． 知识点二　两条直线垂直 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1． (2)当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0. 1．根据两直线方程的一般式判定两直线平行的方法 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性． 2．根据两直线方程的一般式判定两直线垂直的方法 一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 这种方法可避免讨论，减小失误． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线平行，则这两条直线斜率相等．(　　) (2)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　　) (3)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.(　　) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与x轴垂直．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)已知过A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　) A．－8 B．0 C．2 D．10 (2)若直线ax＋2y－1＝0与直线2ax－2y＋1＝0垂直，则a的值为(　　) A．0或 B．－ C．±2 D．± (3)过点A(1，2)且平行于直线x－3y＋1＝0的直线方程为________． (4)已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2经过点A(0，5)，B(，2)，则直线l1与直线l2的位置关系为________． 答案　(1)A　(2)D　(3)x－3y＋5＝0 (4)l1⊥l2 题型一　平行关系的判断 例1　判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：2x＋y＝7，l2：4x＋2y＝1； (3)l1：x＝2，l2：x＝4. [解]　(1)解法一：将两直线方程各化为斜截式：l1：y＝－x＋；l2：y＝－x－. 则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－. ∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2. 解法二：∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2. (2)解法一：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝－2x＋7；l2：y＝－2x＋. 则k1＝－2，b1＝7，k2＝－2，b2＝. ∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2. 解法二：将两直线方程化为一般式： l1：2x＋y－7＝0，l2：4x＋2y－1＝0. ∵2×2－4×1＝0且2×(－1)－4×(－7)≠0， ∴l1∥l2. (3)∵l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，∴l1∥l2. 感悟提升 两条直线平行的判定 (1)已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. (2)对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，它们的法向量分别是n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，l1与l2平行的充要条件是n1与n2共线，即A1B2＝A2B1. [跟踪训练1]　判断下列各组直线是否平行，并说明理由． (1)l1：y＝x＋，l2：y＝x＋； (2)l1：x＋2y＋1＝0，l2：2x＋4y＋1＝0； (3)l1：2x＋5y＋1＝0，l2：＋＝1. 解　(1)这两条直线的斜率相等，截距不等，故l1∥l2. (2)由l1：y＝－x－，l2：y＝－x－知，这两条直线的斜率相等，截距不等，故l1∥l2. (3)l1：2x＋5y＋1＝0，即y＝－x－，l2：y＝－x＋2， 这两条直线的斜率相等，截距不等