第01讲 菱形的性质（4种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第01讲 菱形的性质（4种题型） 【知识梳理】 一、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 要点精析： (1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可． (2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法． 二、菱形的性质 菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （3）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 注意： (1) 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等 的两部分； (2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心； (3) 菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)． 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半． 【考点剖析】 一、利用菱形的性质求角度 例1.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，求∠CDF的度数． A B C D E F 【变式】如图，等腰三角形CEF的两腰CE，CF的长与菱形ABCD的边长相等． (1)求证：△BEC≌△DFC； (2)当△ECF是等边三角形时，求∠B的度数． 二、利用菱形的性质求线段长 例2.（1）菱形有一个内角为，一条较短的对角线长为6，则菱形的边长为 _________； （2）如图，在菱形中，，，则 ． O 【变式】（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考一模）如图所示，边长为4的菱形中，对角线与交于点O，P为中点，Q为中点，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 三、利用菱形的性质求面积 例3.如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10． 求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积． 【变式】（2023·山西晋中·统考模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的面积为_____． 四、利用菱形的性质证明 例4．已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． 【变式】(自贡中考)如图，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE. 【过关检测】 一、单选题 1．（2023秋·贵州贵阳·九年级期末）如图，菱形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西西安·校考二模）如图，为菱形的对角线，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，在菱形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南长沙·校联考模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为（    ） A．18 B．16 C．20 D．24 5．（2023·河南鹤壁·统考三模）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，若菱形的周长为，，则的面积是(    ) A． B． C． D． 6．（2023·天津河西·统考一模）如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D． 7．（2023·安徽六安·统考二模）在菱形中，与交于O，的值可以是（    ） A． B． C． D． 8．（2023春·九年级单元测试）如图，菱形的对角线交于点O，，将绕着点C旋转得到，则点A与点之间的距离为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．（2023·江苏扬州·统考一模）下图中，图是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果，图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镶嵌得到图，将图着色后，再次镶嵌便得到图，则图中的度数是（  ） A． B． C． D． 10．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为，深色阴影部分的周长为，若要求出的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 11．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，在菱形中，对角线与交于点，在上取一点，使得，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（2023秋·陕西汉中·九年级统考期末）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则的度数为___