2023年中考数学专项训练 —— 含30度角的直角三角形

2023年中考数学专项训练 —— 含30度角的直角三角形 1、如图，点，在上，且，点为的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为4，求的长． 2、如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半轻的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，∠ABC＝60°． (1)求∠C的度数； (2)若圆的半径OB＝2，求线段CD的长度． 3、如图，在东西方向的海岸线上有一码头千米，在码头西端的正西方30千米处有一观察站．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于北偏西方向，且与相距千米的处；航行40分钟后，又测得该轮船位于的正北方向，且与相距20千米的处．（参考数据：，） (1)求该轮船的速度； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由． 4、风筝起源于春秋战国时期，至今已有两千多年的历史．正值春日，周末小明姐弟俩在父母的陪同下来到一片宽广的场所放风筝．小明（A）与姐姐（B）一前一后在水平地面上放风筝，结果风筝在空中C处纠缠在一起，如图所示，测得，且小明与姐姐之间的距离，求此时风筝C处距离地面的高度．（参考数据：，结果保留一位小数） 5、如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0<m<8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当△PMN的周长是△AOB周长的时，求m的值； (3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，连接E′A、E′B，在平面直角坐标系内找一点Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出点Q的坐标． 6、已知抛物线． (1)求证：抛物线与x轴有两个交点； (2)设抛物线与x轴交于B，D两点（点D在点B左侧），与y轴交于点C，顶点坐标为A． ①求证：△ABD是等边三角形； ②当时，求△ABC面积的最大值． 7、图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长与墙壁的夹角 ，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且使．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ (结果精确到，参考数据：) 8、在菱形ABCD中，∠ABC=60°， 点E、G分别是边DC、BC上的点，AE与BD相交于点F，且∠EFG=60°． (1)如图1，当点G与点C重合时，证明：FA=FG； (2)如图2，当点G与点C不重合时，FA=FG是否还成立，若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明． (3)如图3，若AB=6，当CE=CG时，直接写出DE的长； 9、如图是我国古代数学家赵爽创制的一副“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH无缝拼成的大正方形ABCD． (1)若，，求AB的长． (2)点M在FG上，，且，求正方形ABCD与正方形EFGH的周长比． 10、如图，在中，是直径，是弦，的平分线交于点C，过点C作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若D是弧的中点，．求的长． 11、如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°． (1)求证：直线AC是⊙O的切线； (2)如果∠ACB＝75°． ①若⊙O的半径为2，求BD的长； ②求CD：BC的值． 12、如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为ts，解答下列问题： (1)求△ABC的面积； (2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ (3)是否存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 13、如图，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点在第二象限内，点、点在轴的负半轴上，，． (1)求点的坐标； (2)如图，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线、于点、，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线） (3)在（2）的基础上，将绕点按顺时针方向继续旋转，当的面积为时，求直线的函数表达式． 14、二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 15、电影《厉害了，我的国》震撼上演后，引起了大家的强烈共鸣，当“复兴号”一幕又一幕的奔驰在祖国广袤的大地上，中国