2023年中考数学专项训练 —— 等边三角形的判定和性质

2023年中考数学专项训练 —— 等边三角形的判定和性质 1、如图，在等边中， 分别是边上的点，且 , ，点与点关于对称，连接，交于. （1）连接，则之间的数量关系是 ； （2）若，求的大小（用的式子表示） （3）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明. 2、问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究 (2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决 (3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 3、在菱形中，，点在的延长线上，点是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针得到线段，连接，. （1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系； （2）如图2，当点在上时，线段，，之间有怎样的数量关系？请写出结论并给出证明； 　 （3）当点在直线上时，若，，，请直接写出线段的长. 4、如图所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长． 5、如图，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动． （1）求BD的长； （2）已知点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒，5厘米/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由； （3）设（2）中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改变为a厘米/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与（2）中的△AMN相似，试求a的值． 6、综合与实践 提出问题：在一次数学活动课的学习中，小明同学发现：“等边三角形外接圆上任意一点到三个顶点的距离的平方和等于边长平方的两倍” (1)初步探究：如图①，为等边三角形，是外接圆上任意一点，证明的思路如下，图②中，在上截取，连接，先证明为等边三角形，再证明，由此得出．请写出的证明过程 (2)继续探究：如图②，设，，，，求证 (3)拓展探究：如图③，点为正六边形的外接圆上一点，设，，，，，，．试探究，，，，，与之间的数量关系 7、如图，在中，，将弦AB与所围成的弓形（包括边界的阴影部分）绕点B顺时针旋转，点A的对应点为． （1）点O到线段AB的距离是___；____°；当点O落在阴影部分（包括边界）时，的取值范围是___； （2）若线段与优弧ACB的交点为D，当时，点D___AO的延长线上（填“在”或“不在”）； （3）当直线与相切时，求的值并求此时点运动路径的长度． 8、△ABC和△EFG是两块完全重合的等边三角形纸片（如图①所示），O是AC（或EF）的中点，△ABC不动，将△EFG绕O点顺时针转α（0°＜α°＜120°）． （1）试分别说明α是多少度时，点F在△ABC外部、BC上、内部（不证明）？ （2）当点F不在BC上时，在图②、图③两种情况下（设EF或延长线与BC交于P，EG与CA或延长线交于Q），分别写出OP与OQ的数量关系，并从图②、③中选一种情况给予证明． 9、如图，点，在上，且，点为的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为4，求的长． 10、阅读下面材料． 小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，∠ADC＝120°，连接BD．用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明． 小明经过思考，发现解决问题的方法：如图2，延长CD至E，使ED＝AD，连接AE．证△ADE是等边三角形，△ACE≌△ABD，问题得到解决． (1)填空：线段AD，BD，CD之间的数量关系为 　 　； (2)用学过的知识或参考小明的方法解决下面的问题： ①如图3，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC外一点，∠ADC＝135°，连接BD．用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明． ②如图4，△ABC是等边三角形，点D在△ABC内，∠DAB＝∠DBA＝15°，将线段BD绕着点D顺时针旋转30°，得到线段B'D，连接B'D．直接写出的值． 11、综合与实践 旋转是图形变化的方法之一，借助旋转知识可以解决线段长、角的大小、取值范围、判断三角形形状等问题，在实际生活中也有着十分重要的地位和作用. 问题背景 一块等边三角形建筑材料内一点到三角形三个顶点的距离满足一定条件时，我们可以用所学的知识帮助工人师傅在没有刻度尺的情况下求出等边三角形的边长. 数学建模 如图，等边三角形内有一点，已知，，. 问题解决 （1）如图，将△ABP绕点顺时针旋转60°得到△