2023年九年级数学中考复习 圆的综合

2023年九年级数学中考复习 圆的综合 角平分线 1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，EF交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BF＝8，OB＝12，求证：AE＝2BE． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，△ABC的外角平分线BD交⊙O于点D，DE是⊙O切线，交CB的延长线于点E，连接AD． （1）求证：AC∥DE； （2）若，BE＝4，求CB的长． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，点O是AB边上的点，以BD为弦的⊙O交AB于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，OB＝1，求阴影部分的面积． 4．如图，在△ABC中，AB＝BC，CO平分∠ACB交AB于点O．当AC＝CO时，以点O为圆心OA为半径作圆交AC于点D，过点D作DE⊥BC垂足为E． （1）求∠B的度数； （2）证明：DE是⊙O的切线． 5．如图，在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，AD的延长线交⊙O于点E，连接BE． （1）求证：BE＝DE； （2）若AB＝10，BC＝6，求BE的长． ​ 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是5，BC＝8，求AD的长． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB交BC于点O，以OC为半径作⊙O，直线AO交⊙O于点E，D，连接CD． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若2AC＝3AE，⊙O的直径为5，求CD的长． 8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点F． （1）求证：DF＝DE； （2）若AB＝6，BC＝2，求AF的长． 9．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，连结OD． （1）求证：OD⊥AB； （2）过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点E，若，，求DE． 10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若∠CAB＝30°，求阴影部分的面积． 11．如图，AB为⊙O的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分∠DAE． （1）求证：AE为⊙O的切线； （2）作DF⊥CD，OF⊥DF，垂足分别为点D，F，若AB＝10，OF＝3，求AE的长． 12．已知AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交圆O于点E． （1）如图 ①，求证：AC平分∠DAB； （2）如图 ②，若，DC＝4，过B作BF∥AD交圆O于点F，连接CF，求圆O半径和CF． 答案版 1． 【解答】证明：（1）∵∠BEF＝∠CAE，∠CAE＝∠CBE， ∴∠BEF＝∠CBE， ∴BC∥EF； 如图： 连接OE， ∵AE平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE， ∴， ∴OE⊥BC， ∵BC∥EF， ∴OE⊥EF， ∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）如图，∵OB＝12，BF＝8，则OE＝OB＝12，OF＝12+8＝20， 在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2， ∴EF2＝OF2﹣OE2＝202﹣122＝256， 解得：EF＝16， ∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F， ∴△EBF∽△AEF， ∴＝＝＝， ∴AE＝2BE， 2． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵DE与⊙O相切于点D， ∴∠ODE＝90°， ∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， ∵OB＝OD， ∴∠ABD＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠DBE， ∴OD∥BE， ∴∠DEC＝180°﹣∠ODE＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∴∠C+∠DEB＝180°， ∴AC∥DE； （2）解：过点O作OF⊥CE，垂足为F， ∴∠OFE＝90°，BC＝2BF， ∵∠ODE＝∠DEB＝90°， ∴四边形ODEF是矩形， ∴OD＝EF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADB＝∠DEB＝90°，∠ABD＝∠DBE， ∴△ABD∽△DBE， ∴＝， ∴＝， ∴AB＝20， ∴OD＝EF＝AB＝10， ∴BF＝EF﹣BE＝10﹣4＝6， ∴BC＝2BF＝12， ∴CB的长为12． 3． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠