第十章 课时作业(71) 概率统计与其他知识的综合问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

课时作业(七十一)　概率统计与其他知识的综合问题 [技能提分练] 1．(2023·福建福州第一中学模拟)某运动员多次对目标进行射击，他第一次射击击中目标的概率为.由于受心理因素的影响，每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变，若前一次击中目标，下一次击中目标的概率为；若第一次未击中目标，则下一次击中目标的概率为. (1)记该运动员第n次击中目标的概率为Pn，证明：为等比数列，并求出{Pn}的通项公式； (2)若该运动员每击中一次得2分，未击中不得分，总共射击2次，求他总得分X的分布列与数学期望． 解：(1)由题意，当n∈N*时，Pn＋1＝Pn·＋(1－Pn)·＝＋Pn， 则Pn＋1－＝Pn－＝， 又P1－＝－， ∴数列是首项为－，公比为的等比数列， ∴Pn－＝×， ∴Pn＝×＋. (2)记Ai为第i次射击击中目标，则由题意可得P(A1)＝，P(A2|A1)＝，P(A2|A1)＝， X可取到的值为0，2，4，且 P(X＝0)＝P(12)＝P(A2|A1)P(A1)＝×＝， P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A12)＝P(A2|A1)P(A1)＋P(A2|A1)P(A1)＝×＋×＝， P(X＝4)＝P(A1A2)＝P(A2|A1)P(A1)＝×＝， 则X的分布列为 X 0 2 4 P ∴E(X)＝0×＋2×＋4×＝. 2．某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线．已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示： 质量指 标值 [5，6) [6，7) [7，8) [8，9) [9，10] 频数 16 30 40 10 4 试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：(注：每组数据取区间的中点值) (1)由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈0.82，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间(5.42，7.88)之外的个数，求P(X＝1)及X的数学期望(精确到0.001)； (2)已知每个产品的质量指标值k与利润y(单位：万元)的关系如下表所示t∈(6，7)： 质量指标值k [5，6) [6，7) [7，8) [8，9) [9，10] 利润y 5t 3t 2t t －5t2 假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由． 参考数据：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<Z＜μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<Z＜μ＋3σ)≈0.997 3，0.818 69≈0.165 1. 解：(1)由题意知，样本的平均数为＝5.5×0.16＋6.5×0.3＋7.5×0.4＋8.5×0.1＋9.5×0.04＝7.06， 所以＝(7.06－1.64，7.06＋0.82)＝(5.42，7.88)， 而P(μ－2σ<k＜μ＋σ)＝P(μ－σ<k＜μ＋σ)＋P(μ－2σ<k＜μ＋2σ)＝0.818 6. 所以质量指标k在区间(5，42，7.88)之外的概率为0.181 4. 因为X～B(10，0.181 4)， 则P(X＝1)＝C×0.818 69×0.181 4≈10×0.165 1×0.181 4≈0.299， 所以E(X)＝10×0.181 4＝1.814. (2)由题意知，每件产品的平均利润为y＝5t×0.16＋3t×0.3＋2t×0.4＋t×0.1＋(－5t2)×0.04＝－0.2t2＋2.6t，t∈(6，7)， 易知函数y＝－0.2t2＋2.6t的对称轴为t＝6.5，且二次函数开口向下， 所以当t＝6.5时，y取得最大值，且ymax＝－0.2×6.52＋2.6×6.5≈8.45. 因为该生产线的年产量为100万个， 所以该生产线的年盈利的最大值为8.45×100＝845万元，因为845>500， 所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资． 3．(2023·山东烟台模拟)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn. (1)求p1，q1和p2，q2； (2)求2pn＋qn与2pn－1＋qn－1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn).(用n表示) 解：(1)p1＝＝，q1＝＝， p2＝p1×＋q1×＝