第八章 课时作业(61) 证明与探究性问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

课时作业(六十一)　证明与探究性问题 [技能提分练] 1．椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，过点P(0，1)作斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时|AB|＝3. (1)求椭圆E的方程； (2)当k变化时，在x轴上是否存在点M(m，0)，使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在，则求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)由已知椭圆过点，可得， 解得a2＝9，b2＝4，所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点C(x0，y0)， 联立消去y得(4＋9k2)x2＋18kx－27＝0， 所以x0＝＝，y0＝kx0＋1＝. 当k≠0时，设过点C且与l垂直的直线方程为y＝－＋， 将M(m，0)代入得m＝－， 若k＞0，则＋9k≥2＝12， 若k＜0，则＋9k＝－≤2＝－12， 所以－≤m<0或0<m≤， 当k＝0时，m＝0. 综上所述，存在点M满足条件，m的取值范围是－≤m≤. 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F2(2，0)，点B(2，－)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)依题意，得c＝2.∵点B(2，－)在椭圆C上， ∴＋＝1.又a2＝b2＋c2，∴a2＝8，b2＝4， ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)假设存在这样的点P，设P(x0，0)，E(x1，y1)，x1＞0， 则F(－x1，－y1)，联立 消去y并化简得，(1＋2k2)·x2－8＝0，解得x1＝，则y1＝，又A(－2，0)， ∴AE所在直线的方程为y＝·(x＋2)， 又∵直线AE与y轴交于点M， ∴M， 同理可得N， ＝， ＝. 若∠MPN为直角，则·＝0，∴x－4＝0， ∴解得x0＝2或x0＝－2，∴存在点P(2，0)或(－2，0)，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角， 此时点P的坐标为(2，0)或(－2，0). 3．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，直线l1：x＝4与x轴的交点为G，过点M(1，0)且不与x轴重合的直线l2交椭圆E于点A，B.当l2垂直于x轴时，△ABG的面积为. (1)求椭圆E的方程； (2)若AC⊥l1，垂足为C，直线BC交x轴于点D，证明：|MD|＝|DG|. (1)解：因为椭圆E的焦距为2，所以c＝， 所以a2－b2＝3，①当l2垂直于x轴时，|MG|＝3，因为△ABG的面积为，即|AB|·|MG|＝， 所以|AB|＝，不妨设A，代入椭圆E的方程得＋＝1，② 联立①②解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(4，y1). 因为直线l2不与x轴重合，故可设l2的方程为x＝my＋1，联立得 整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，所以Δ＝16(m2＋3)＞0，y1＋y2＝，y1y2＝， 所以直线BC：y－y1＝(x－4)，令y＝0，则x＝＋4， 所以点D的横坐标xD＝＋4， 所以xD－＝＋4－＝＋＝ ＝＝＝0， 所以xD＝，因为MG中点的横坐标为，所以D为线段MG的中点，所以|MD|＝|DG|. 4．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E交于A，B两个相异点，且＝λ. (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在m，使＋λ＝4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c， 由已知得＝，所以c＝a，b2＝a2－c2＝. 因为以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4， 所以4＝2a＝4，解得a＝2，b＝1.所以椭圆E的方程为x2＋＝1. (2)存在．根据已知得P(0，m)，由＝λ，得－＝λ(－).所以＋λ＝(1＋λ). 因为＋λ＝4，所以(1＋λ)＝4. 若m＝0，由椭圆的对称性得＝，即＋＝0.所以当m＝0能使＋λ＝4成立． 若m≠0，则1＋λ＝4，解得λ＝3. 设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，由，得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0， 由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0， 即k2－m2＋4>0，且x1＋x2＝，x1x2＝. 由＝3得－x1＝3x2，即x1＝－3x2， 所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0， 所以＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0. 当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立．