第六章 课时作业(41) 高考中的数列综合问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

课时作业(四十一)　高考中的数列综合问题 [技能提分练] 1．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案：D 2．(2022·广东佛山二模)科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力”的重要指标．“十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020年我国全社会研发经费投入达到了24 426亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比重是6.16%.“十四五”规划《纲要草案》提出，全社会研发经费投入年均增长要大于7%，到2025年基础研究经费占比要达到8%以上，请估计2025年我国基础研究经费为(　　) A．1 500亿元左右 B．1 800亿元左右 C．2 200亿元左右 D．2 800亿元左右 答案：D 3．朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家．朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”．十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是2，如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是2 F，第三个单的频率就是2F，第四个音的频率是2F，…，第十二个音的频率是2F，第十三个音的频率是2F，就是2F.在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为(　　) A．2F B．F C．F D．F 答案：D 4．(多选)(2023·江苏模拟)设{an}是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意n∈N＋，均有an＋k＞an，则称{an}是间隔递增数列，k是{an}的间隔数，下列说法正确的是(　　) A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B．已知an＝n＋，则{an}是间隔递增数列 C．已知an＝2n＋(－1)n，则{an}是间隔递增数列且最小间隔数是2 D．已知an＝n2－tn＋2 020，若{an}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t＜n 答案：BCD 5．(2022·浙江卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an－a(n∈N＋)，则(　　) A．2＜100a100＜ B．＜100a100＜3 C. 3＜100a100＜ D．＜100a100＜4 答案：B 6．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝48，a5＝28，若Sn＋30＞nλ对任意n∈N＋恒成立，则λ的取值范围为________． 答案：(－∞，30)　解析：由题意得a2＋a4＝a5＋a1＝48， 因为a5＝28， 所以a1＝20，则d＝＝＝2，所以Sn＝20n＋×2＝n(n＋19)， 由n(n＋19)＋30＞nλ得λ＜＝n＋＋19， 由函数f(x)＝x＋＋19的单调性及f(5)＝f(6)＝30知， 当n＝5或n＝6时，n＋＋19取最小值30，故λ ＜30. 7．(2023·广东模拟)已知[x]表示不小于x的最小整数，[x]表示不大于x的最大整数，如[1.6]＝2，[3.1]＝3，数列{an}满足a1＝，且对∀n∈N＋，有an＋1＝[[an]＋an]＋b，若{an}为递增数列，则整数b的最小值为________. 答案：0　解析：∵数列{an}满足a1＝，且对∀n∈N＋，有an＋1＝an＋an＋b， ∴a2＝＋＋b＝b＋1，∵b∈Z可得a2∈Z， ∴∀n≥2，有an∈Z， ∴当n≥2时，an＋1＝an＋an＋b＝2an＋b，即an＋1＋b＝2(an＋b)，n≥2， ∴an＋b＝(2b＋1)·2n－2，n≥2， ∴an＝ ∵{an}为递增数列，则an＋1－an＞0， 当n＝1时，a2－a1＝b＋＞0，解得b＞－， 当n≥2时，an＋1－an＝(2b＋1)·2n－1＞0，即2b＋1＞0，解得b＞－，∴b＞－， 又b∈Z，则b≥0，∴整数b的最小值为0. 8．设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝an＋1－2n＋1＋1(n∈N＋)，a1＝1. (1)求证：数列为等比数列，并求an； (2)设数列{bn}满足bn(3n－an)＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜1. (1)证明：2Sn＝an＋1－2n＋1＋1(n∈N＋)，∴当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，相减可得2an＝an＋1－2n－an，化为＋1＝，＋1＝， ∴数列为等比数列，首项与公比都为. ∴＋1＝，化为an＝3n－2n. (2)解：bn(3n－an)＝，∴bn＝＝＝－. ∴数列{bn}的前n项和为 Tn＝＋＋…＋＝1－＜1， 即Tn＜1. [素养拉分练] 9．(2023·山西运城模