第六章 课时作业(40) 数列求和（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

课时作业(四十)　数列求和 [基础保分练] 1．(2023·海南华侨中学模拟)数列{(－1)n(2n－1)}的前2 022项和等于(　　) A．－1 010　　　　　　 B．2 022 C．－2 018 D．2 019 B　解析：设数列的前2 022项和为S2 022， 当n为奇数时，n＝－， 当n为偶数时，n＝2n－1， 所以S2 022＝－1＋3－5＋7－9＋11＋…＋＋4 043 ＝＋＋＋…＋[(－4 041)＋4 043]＝2×1 011＝2 022. 2．(2022·江西临川一中模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝n cos (n－1)π，Sn为数列的前n项和，S2 024＝(　　) A．－1 009 B．－1 010 C．－1 011 D．－1 012 答案：D 3．(2023·哈师大附中模拟)已知数列{an}满足an＝1＋2＋4＋…＋2n－1，则数列的前5项和为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 答案：D 4．(2022·江苏木渎高级中学模拟)已知数列{an}，满足2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n(n∈N＋)，则a1a2＋a2a3＋a3a4…＋a98a99＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 5．(2022·广东三模)在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数φ(n)(n∈N＋)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数(互素是指两个整数的公约数只有1)，例如：φ(1)＝1；φ(3)＝2(与3互素有1，2)；φ(9)＝6(与9互素有1，2，4，5，7，8).记Sn为数列{n·φ(3n)}的前n项和，则S10＝(　　) A．×310＋ B．×310＋ C．×311＋ D．×311＋ 答案：A 6．(多选)(2023·湖南衡阳模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．则下列数列{bn}为“吉祥数列”的有(　　) A．bn＝n B．bn＝(－1)n(n＋1) C．bn＝4n－2 D．bn＝2n 答案：BC 7．(多选)(2023·河北模拟)将数列{3n－2}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则下列说法正确的有(　　) A．数列{an}为等差数列 B．数列{an}为等比数列 C．an＝4n＋1 D．数列{(3n－2)an}的前n项和为(n－1)·4n＋1＋4 答案：BD 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝，记bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝________． 答案：3－　解析：当n＝1时，a1＝S1＝＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝4n2－4n＋1， 当n＝1时，4n2－4n＋1＝0－0＋1＝1， 综上，an＝4n2－4n＋1，n∈N＋， 所以bn＝＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋…＋，② 两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝＋2－＝＋2·－＝－，所以Tn＝3－. 9．(2023·上海模拟)设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y＝x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn＋1相互外切，以rn表示圆Cn的半径，已知{rn}为递增数列，若r1＝1，则数列{n·rn}的前n项和为________. 答案：　解析：将直线y＝x的倾斜角设为α， 则α＝，设圆Cn，Cn＋1与直线y＝x的切点分别为E，F，连接CnE，Cn＋1F，过Cn作CnD⊥Cn＋1F，垂足为D， 则CnCn＋1＝rn＋1＋rn，Cn＋1D＝rn＋1－rn， ∵＝＝，整理得＝3， 数列{rn}是以首项r1＝1，公比q＝3的等比数列，即rn＝1×3n－1＝3n－1， ∴n·rn＝n·3n－1，设数列{n·rn}的前n项和为Sn，则 Sn＝1×30＋2×31＋3×32＋…＋n·3n－1， 3Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n， 两式相减得－2Sn＝30＋31＋32＋…＋3n－1－n·3n＝－n·3n＝－， 所以Sn＝. 10．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. (1)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(2n－1)·(an＋n)，求数列{bn}的前n项和Tn. (1)证明：因为an＋1＝2an＋n－1，所以an＋1＋(n＋1)＝2an＋2n， 因为a1＋1＝2≠0，故an＋n≠0即＝2， 所以数列{an＋n}是以2为首项，2为公比的等比数列， 则an＋n＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－n. (2)解：bn＝(2n－1)·(an＋n)＝(2n－1)·2n， 则Tn＝2＋3×22＋5×2