第六章 课时作业(39) 数列中的构造问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

课时作业(三十九)　数列中的构造问题 [技能提分练] 1．数列{an}满足an＋1＝2an＋3，n∈N＋，若a2 017≥a1，则a1的取值范围为(　　) A．(－∞，－3]　　　　 B．{－3} C．(－3，＋∞) D．[－3，＋∞) 答案：D 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝Sn＋2n＋1，a1＝2，则Sn＝(　　) A．(n＋1)·2n B．(n＋1)·2n－1 C．n·2n－1 D．n·2n 答案：D 3．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，则是这个数列的第几项(　　) A．100项 B．101项 C．102项 D．103项 答案：A 4．(2023·四川绵阳南山中学模拟)已知数列满足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，则满足an>的n的最大取值为(　　) A．7　　　B．8　　　C．9　　　D．10 C　解析：因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4，又＝1， 数列是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以＝1＋4＝4n－3，所以an＝，由an>，即>，即0<4n－3<37，解得<n<10，因为n为正整数，所以n的最大值为9. 5．数列{an}中，a1＝，an＋1＝，则a99＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 6．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝2，an＋2＋(－1)n－1an＝2，则S60＝________． 答案：960　解析：由an＋2＋(－1)n－1an＝2可知， 当n为奇数时，有an＋2＋an＝2；当n为偶数时，an＋2－an＝2， ∴数列{an}的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列， 则S60＝(a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a57＋a59)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a58＋a60)＝15×2＋30×2＋×2＝960. 7．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，若bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝________． 答案：－　解析：由an＋1＝－，有an＋1－＝2－＝2·，an＋1－2＝－＝·； 两式相除得到＝·，所以是以为公比，＝－2为首项的等比数列，所以＝－2·，an＝2－，从而bn＝－－. 所以Sn＝－－×＝－－＝－. 8．(2022·广东肇庆二模)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，an－an＋1＝(n＋1)an·an＋1，Sn＜k恒成立，则k的最小值为________． 答案：2　解析：由an－an＋1＝(n＋1)an·an＋1，得－＝n＋1， 当n≥2时，得－＝n，－＝n－1，…，－＝2， 则－＋－＋…＋－＝－＝n＋(n－1)＋…＋2， 即＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，则an＝＝2， 当n＝1时符合上式， 则Sn＝2＝2－＜2， 所以k的最小值为2. 9．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝4，4an＋1－3an－an＋2＝0，设bn＝，n∈N＋.则b1＋b2＋…＋b2 022＝________． 答案：　解析：依题意a1＝1，a2＝4，4an＋1－3an－an＋2＝0， an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)， 所以数列{an＋1－an}是首项a2－a1＝3，公比为3的等比数列， 所以an＋1－an＝3n. an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝＝，a1＝1也满足， 所以an＝， bn＝＝＝－， 所以b1＋b2＋…＋b2 022＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 10．已知各项都不相等的数列{an}满足an＋2＝3an＋1－2an. (1)证明：数列{an＋1－an}为等比数列； (2)若a1＝1，a2＝3，求{an}的通项公式． (1)证明：由an＋2＝3an＋1－2an，可得，an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， 因为各项都不相等，所以a2－a1≠0， {an＋1－an}是公比为2的等比数列． (2)解：由(1)知{an＋1－an}是公比为2的等比数列， 且a2－a1＝2， 所以当n≥2时，an－an－1＝(a2－a1)·2n－2＝2n－1， an－1－an－2＝2n－2， an－2－an－3＝2n－3， … a2－a1＝2， 累加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2， 所以an＝2n－1. 当n＝1时，21－1＝1＝a1满足上式，故an＝2n－1. [素养拉分练] 11．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋). (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列{bn}满足bn＝·an，求数列{bn}的前n项和Tn. (1)证明：由an＋1＝(n∈N＋)，知＋＝3(＋)， 又＋＝，∴是以为首项，3为公比的等比数列． (2)解：由(1)知＋＝×3n－1＝， ∴an＝，bn＝，