第四章 课时作业(31) 解三角形的综合问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

课时作业(三十一)　解三角形的综合问题 [技能提分练] 1．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝(a＋b)2－c2，则sin＝(　　) A．1 B． C． D． 答案：B 2．(多选)(2022·广东佛山一模)在ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2＋c2＝24，下列选项正确的是(　　) A．若A＝，则S＝3 B．S的最大值为3 C．AM＝3 D．角A的最小值为 答案：ABC 3．(2023·山东济南历城二中模拟)锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(sin A＋sin B)(a－b)＝sin C(a－c)，若b＝1，则a2＋c2的取值范围是__________． 答案：(7，4＋2]　解析：因为(sin A＋sin B)(a－b)＝sin C(a－c)，由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理得cos B＝＝，而B∈(0，π)， 所以B＝， 因为b＝1，由正弦定理知＝＝＝2， 所以a2＋c2＝4sin2A＋4sin2C＝2(1－cos2A)＋2(1－cos 2C) ＝4－2＝4＋2sin ， 因为在锐角△ABC中，有0<A<，0<－A<， 得<A<， 所以<2A－<，此时<sin ≤1， 则7<a2＋c2≤4＋2. 4．(2022·江苏海安高级中学二模)在平面凸四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝1，CD＝2，C＝120°，D＝90°， 求sin A及AD. 解：连接BD，在△BCD中，由余弦定理得 BD＝ ＝＝， 且cos ∠BDC＝＝＝， 又有D＝90°，故sin ∠ADB＝， 在△ABD中，由正弦定理得sin A＝＝＝， 因为BD＝<AB＝3，所以0<A<∠ADB<， 所以cos A＝＝， 因为0<∠ADB<，所以cos∠ADB＝＝， 故sin∠ABD＝sin (A＋∠ADB)＝sin A cos ∠ADB＋cos A sin ∠ADB＝×＋×＝， 在△ABD中，由正弦定理，得AD＝＝＝. 5．(2023·河北模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝b sin 2C＋2c(sin A－sin B cos C). (1)求sin C的值； (2)在BC的延长线上有一点D，使得∠DAC＝，AD＝10，求AC，CD. 解：(1)在锐角△ABC中，a＝b sin 2C＋2c(sin A－sin B cos C)， 由正弦定理得sin A＝2sin B sin C cos C＋2sin C·(sin A－sin B cos C)＝2sin A sin C，而sin A>0， 所以sin C＝. (2)因△ABC是锐角三角形，由(1)得cos ∠ACB＝＝＝， sin∠ADC＝sin ＝(sin ∠ACB－cos ∠ACB)＝×＝， 在△ACD 中，由正弦定理得＝＝， 即＝＝＝5，解得CD＝，AC＝， 所以CD＝，AC＝. 6．(2022·江苏南京三模)在△ABC中，D为BC上靠近点C的三等分点，且AD＝CD＝1.记△ABC的面积为S. (1)若sin C＝2sin B，求S； (2)求S的取值范围． 解：(1)因为sin C＝2sin B，由正弦定理可得c＝2b，因为D为BC上靠近点C的三等分点，AD＝CD＝1，所以BD＝2， 在△ABD中，由余弦定理AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB， 即AB2＝12＋22－2×1×2cos ∠ADB，① 在△ACD中，由余弦定理AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC， 即AC2＝12＋12－2×1×1×cos ∠ADC，② 又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以cos ∠ADB＝cos (180°－∠ADC)＝－cos ∠ADC， 所以b＝，c＝，cos ∠ADB＝－，cos ∠ADC＝， 所以sin ∠ADB＝＝，sin∠ADC＝＝， 所以S＝AD·BD sin∠ADB＋AD·CD·sin ∠ADC＝×1×2×＋×1×1×＝. (2)设∠ADC＝θ，θ∈(0，π)，则∠ADB＝π－θ， 所以S＝AD·BD sin ∠ADB＋AD·CD sin ∠ADC ＝×1×2×sin (π－θ)＋×1×1×sin θ＝sin θ， 显然0<sin θ≤1，所以0<S≤，即S∈. 7． (2023·湖北模拟)如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC＝90°. (1)证明：cos ∠ADB＋sin C＝0； (2)若AB＝2；BC＝2，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积． ①sin ∠ABC＝；②AC＝3AD. 注：若选择两