第四章 课时作业(30) 正弦定理、余弦定理及应用举例（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

课时作业(三十)　正弦定理、余弦定理及应用举例 [基础保分练] 1．(2023·浙江镇海模拟)在△ABC中，A＝30°，BC＝1，则△ABC外接圆的半径为(　　) A．1 B． C．2 D．3 答案：A 2．(2022·贵州贵阳二模)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 3．(2022·北京昌平二模)在△ABC 中，∠B＝45°，c＝4，只需添加一个条件，即可使△ABC 存在且唯一条件：①a＝3；②b＝2；③cos C＝－中，所有可以选择的条件的序号为(　　) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 答案：B 4．(2023·北京101中学模拟)岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14 米，则岳阳楼的高度CD 约为(≈1.414，≈1.732)(　　) A．18 米 B．19 米 C．20 米 D．21 米 答案：B 5．在△ABC中，若sin (A－B)＝1＋2cos (B＋C)·sin (A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 答案：D 6．(多选)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＝(3b－c)sin B，且cos A＝，则下列结论正确的是(　　) A．a＋c＝3b B．tan A＝2 C．△ABC的周长为4c D．△ABC的面积为a2 答案：ABD 7．(多选)在△ABC中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有(　　) A．＝＝，则△ABC 为等边三角形 B．已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则∠C＝60° C．已知a＝7，b＝4，c＝，则最小内角的度数为30° D．在a＝5，A＝60°，b＝4，解三角形有两解 答案：ABC 8．(2022·辽宁丹东二模)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当a＝______时，满足条件“b＝2，A＝30°”的△ABC有两个．(仅写出一个a的具体数值即可) 答案：(1，2)内任一数　解析：由正弦定理得＝，所以sin B＝＝.若满足条件的△ABC有两个，则<1且a<b＝2，所以1<a<2.故答案为(1，2)内任一数． 9．(2023·北京二模)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使＝成立的一组A，B的值是________． 答案：A＝B＝(答案不唯一)　解析：由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B， ∵＝，∴＝，∴sin A cos A＝sin B cos B， ∴sin 2A＝sin 2B，∵A∈(0，π)，B∈(0，π)∴A＝B＝(答案不唯一). 10．(2023·江苏泰州模拟)在锐角△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知BC 边上的高等于a. (1)求证：sin A＝sin B sin C； (2)若∠BAC＝45°，求＋的值． 解：(1)设BC 边上的高为AD，则AD＝b sin C， 所以a＝b sin C， 由正弦定理得sin A＝sin B sin C. (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos 45°＝b2＋c2－bc， 因为bc sin 45°＝a·a，所以a2＝bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即b2＋c2＝bc，所以＋＝. [技能提分练] 11．(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　) A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形 B．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形 C．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形 D．若＝＝，则△ABC是等边三角形 答案：ACD 12．(多选)(2022·河北石家庄模拟)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c 求面积的公式