第四章 课时作业(29) 三角恒等变换（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

课时作业(二十九)　三角恒等变换 [基础保分练] 1．(2022·江苏徐州二模)化简可得sin ·sin ＝(　　) A．－cos B．－sin C．cos D．sin 答案：D 2．(2023·河南模拟)若角α 顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x＋y＝0上，则sin cos ＝(　　) A．± B．± C．－ D． 答案：C 3．(2023·江苏盐城模拟)函数y＝2cos2－1是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 答案：A 4．(2023·合肥第八中学模拟)已知sin ＝， 则sin 的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：A 5．函数f(x)＝4sin ＋cos 的最大值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 6．(多选)(2022·海南海口二模)已知α∈(π，2π)，sin α＝＝tan ，则(　　) A．tan α＝ B．cos α＝ C．tan β＝4 D．cos β＝ 答案：BD 7．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos Asin C，则下列结论可能成立的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．C＝90° 答案：AD 8．若1＋＝，则α的一个可能角度值为________． 答案：50°或130°，410°，490°等，答案不唯一　解析：1＋＝＝＝ ＝＝＝＝， 则sin α＝sin 50°，故α＝k·360＋50°，k∈Z或α＝k·360＋130°，k∈Z. 故50°，130°，410°，490°等均符合题意． 9．(2023·江苏泰州模拟)若θ＝θ0时，f(θ)＝sin 2θ－cos2θ取得最大值，则sin＝________． 答案：　解析：f(θ)＝sin 2θ－(1＋cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ－＝－＝sin (2θ－φ)－(其中cos φ＝，sin φ＝)， 当f(θ)取最大值时，2θ0－φ＝，∴2θ0＝φ＋， sin 2θ0＝sin ＝cos φ＝， cos 2θ0＝cos ＝－sin φ＝－， ∴sin ＝×＋×＝. 10．(2023·湖州模拟)已知f＝cos ＋2sin cos . (1)求f的值； (2)若锐角α满足f＝，求sin 2α的值． 解：(1)f＝cos －2sin (x－)·cos ＝cos －sin ＝cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝sin ， 则f＝sin π＝0. (2)f＝sin ＝， ∴sin ＝， 因为0<α<，所以<2α＋<， 又sin ＝<， 所以cos ＝－， 故sin 2α＝sin ＝sin ·－cos (2α＋)·＝. [技能提分练] 11．(2022·山东烟台三模)若2cos2＝1＋cos2α，则tan 2α的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 12．(多选)(2023·重庆西南大学附中模拟)已知α，β，γ∈，且α＋β＋γ＝，则(　　) A．若sin α＋cos α＝，则tan α＝1 B．若tan α＝2，则sin (β＋γ)＝ C．tan α，tan β 可能是方程x2－6x＋7＝0的两根 D．tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan α＝1 答案：ABD 13．(多选)(2023·重庆巴蜀中学模拟)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β 为锐角，则以下命题正确的是(　　) A．sin 2α＝ B．cos (α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝ 答案：AB 14．(2022·北京朝阳一模)某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝________(用α表示)；当P在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是__________． 答案：60sin α米　225平方米　解析：在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈，AP＝60米，∴PQ＝AP sin α＝60sin α(米)， 在Rt△PAR中，可得PR＝60sin ，由题可知∠QPR＝， ∴△PQR的面积为S△PQR＝·PQ·PR·sin ∠QPR＝×60sin α×60sin ×sin ＝900sin αsin ＝450 ＝450， 又α∈，2α＋∈， ∴当2α＋＝，即α＝时，△