第三章 课时作业(23) 隐零点与极值点偏移问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

课时作业(二十三)　隐零点与极值点偏移问题 [技能提分练] 1．(2023·广东模拟)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax的图象在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0. (1)求a，b的值； (2)求证函数f(x)有唯一的极值点x0，且f(x0)>－. (1)解：因为f′(x)＝xex－a，由f′(0)＝－1得a＝1， 又当x＝0时，f(x)＝－1， 所以切线方程为y－(－1)＝－(x－0)，即x＋y＋1＝0， 所以b＝1. (2)证明：令g(x)＝f′(x)＝xex－1，则g′(x)＝(x＋1)ex， 所以当x<－1时，g(x)单调递减，且此时g(x)<0， 则g(x)在(－∞，－1)内无零点； 当x≥－1时，g(x)单调递增，且g(－1)<0，g(1)＝e－1>0， 所以g(x)＝0有唯一解x0，f(x)有唯一的极值点x0.由， f(x0)＝－x0＝1－，又g＝－1<0， g(1)＝e－1>0⇒<x0<1⇒2<＋x0<，所以f(x0)>－. 2．设函数f(x)＝e2x－a ln x. (1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数； (2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln . (1)解：f(x)＝e2x－a ln x的定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)＝2e2x－. 当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，故f′(x)没有零点， 当a＞0时，∵y＝e2x单调递增，y＝－单调递增， ∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f′(a)＞0， 假设存在b满足0<b<时，且b<，f′(b)<0， 故当a＞0时，导函数f′(x)存在唯一的零点． (2)证明：由(1)知，可设导函数f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0， 当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0， 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0， 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)， 又＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋a ln ≥2a＋a ln . 故当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln . 3．已知函数f(x)＝x2＋(1－a)x－a ln x，a∈R. (1)若f(x)存在极值点1，求a的值； (2)若f(x)存在两个不同的零点x1，x2，求证：x1＋x2>2. (1)解：由已知得f′(x)＝x＋1－a－， 因为f(x)存在极值点1，所以f′(1)＝0，即2－2a＝0，a＝1，经检验符合题意，所以a＝1. (2)证明：f′(x)＝x＋1－a－＝(x＋1)(x>0)， ①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数，不符合题意； ②当a>0时，由f′(x)＝0得x＝a， 当x>a时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增，当0<x<a时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减， 所以当x＝a时，f(x)取得极小值f(a). 又f(x)存在两个不同的零点x1，x2，所以f(a)<0， 即a2＋(1－a)a－a ln a<0，整理得ln a>1－a， 作y＝f(x)关于直线x＝a的对称曲线g(x)＝f(2a－x)， 令h(x)＝g(x)－f(x)＝f(2a－x)－f(x)＝2a－2x－a ln ， 则h′(x)＝－2＋＝－2＋， 因为在(0，2a)上，h′(x)≥0，所以h(x)在(0，2a)上单调递增， 不妨设x1<a<x2，则h(x2)>h(a)＝0，即g(x2)＝f(2a－x2)>f(x2)＝f(x1)， 又2a－x2∈(0，a)，x1∈(0，a)，且f(x)在(0，a)上为减函数， 所以2a－x2<x1，即x1＋x2>2a，又ln a>1－a，易知a>1成立，故x1＋x2>2. 4．已知f(x)＝x ln x－mx2－x，x∈R. (1)当m＝－2时，求函数f(x)的所有零点； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞e2(e为自然对数的底数). (1)解：当m＝－2时，f(x)＝x ln x＋x2－x＝x(ln x＋x－1)，x＞0.设g(x)＝ln x＋x－1，x＞0， 则g′(x)＝＋1>0，所以g(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数． 又g(1)＝0，所以g(x)有唯一的零点x＝1，从而函数f(x)有唯一的零点x＝1. (2)证明：欲证x1x2＞e2，只需证ln x1＋ln x2＞2. 由函数f(x)有两个极值点x1，x2，可得函数f′(x)有两个零点，又f′(x)＝ln x－mx， 所以x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不同实根．于是有 ①＋②可得ln x1＋ln x2＝m(x1＋x2)，即m＝， ②－①可得ln x2－ln x1＝m(x2－x1)，即m＝，则＝，即ln x1＋ln x2＝. 由0＜x1＜x2