第三章 课时作业(22) 利用导数研究函数的0点问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

课时作业(二十二)　利用导数研究函数的零点问题 [技能提分练] 1．(2023·广东石门高级中学模拟)已知函数f(x)＝x2e－x. (1)求f(x)的单调区间和极值． (2)若关于x 的方程f(x)＝k 有唯一的实数根，求实数k 的取值范围． 解：(1)f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(－x2＋2x)e－x＝－x(x－2)e－x， 由f′(x)<0 得x<0 或x>2，由f′(x)>0 得0<x<2， 所以f(x)的递增区间为(0，2)，递减区间为(－∞，0)，(2，＋∞). 极小值为f(0)＝0，极大值为f(2)＝4e－2. (2)方程f(x)＝k 有唯一的实数根等价于函数y＝f(x)与直线y＝k 有唯一的交点， 画出f(x)的大致图象， 所以实数k的取值范围为{0}∪(4e－2，＋∞). 2．(2023·山东济南模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax－，g(x)＝ex－e(e为自然对数的底数). (1)若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线与曲线y＝g(x)在(0，g(0))处的切线互相垂直，求实数a的值； (2)设函数h(x)＝试讨论函数h(x)零点的个数． 解：(1)f′(x)＝－3x2＋a，g′(x)＝ex，所以f′(0)＝a，g′(0)＝1，由题意，知a＝－1. (2)易知函数g(x)＝ex－e在R上单调递增，仅在x＝1处有一个零点，且x<1时，g(x)<0， 又f′(x)＝－3x2＋a， ①当a≤0时，f′(x)≤0，f(x)在R上单调递减，且过点，f(－1)＝－a>0， 即f(x)在x≤0时必有一个零点，此时y＝h(x)有两个零点； ②当a>0时，令f′(x)＝－3x2＋a＝0， 得两根为x1＝－<0，x2＝>0， 则－是函数f(x)的一个极小值点，是函数f(x)的一个极大值点， 而f＝－＋a－＝－<0. 现在讨论极大值的情况： f＝－＋a－＝－－， 当f<0，即a<时， 函数y＝f(x)在(0，＋∞)上恒小于零，此时y＝h(x)有两个零点； 当f＝0，即a＝时，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有一个零点x0＝＝， 此时y＝h(x)有三个零点； 当f>0，即a>时，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于，一个零点大于， 若f(1)＝a－<0，即a<时，y＝h(x)有四个零点； 若f(1)＝a－＝0，即a＝时，y＝h(x)有三个零点； 若f(1)＝a－>0，即a>时，y＝h(x)有两个零点． 综上所述，当a<或a>时，y＝h(x)有两个零点；当a＝或a＝时，y＝h(x)有三个零点；当<a<时，y＝h(x)有四个零点． 3．(2023·安徽江淮名校模拟)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)·ex－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1). 若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减． 若a＞0，令f′(x)＝0得x＝－ln a. 当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点． 若a＞0，由(1)知，当x＝－ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(－ln a)＝1－＋ln a. ①当a＝1时，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一个零点；②当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋ln a>0，即f(－ln a)>0，故f(x)没有零点；③当a∈(0，1)时，1－＋ln a<0，即f(－ln a)<0，又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2>－2e－2＋2>0，故f(x)在(－∞，－ln a)上有一个零点．设正整数n0满足n0>ln ，即f(n0)＝－n0>0.由于ln >－ln a，因此f(x)在(－ln a，＋∞)有一个零点． 综上，a的取值范围为(0，1). 4．(2022·河北邯郸二模)已知函数f(x)＝－a ln x，a≠0. (1)若a＝，分析f(x)的单调性； (2)若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围． 解：(1)由题可知x>0 且f′(x)＝， 设m(x)＝ex－1－x⇒m′(x)＝ex－1－1，当x>1时，m′(x)>0，m(x)单调递增， 当0<x<1时，m′(x)<0，m(x)单调递减，故当x＝1时，函数m(x)有最小值m(1)＝0， 因此有m(x)＝ex－1－x≥0⇒ex－1≥x， 设g(x)＝2x2－x3－ex－1≤2x2－x3－x， 当x>0时，2x2－x3－x＝－x(x2－