第三章 课时作业(20) 利用导数证明不等式（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

课时作业(二十)　利用导数证明不等式 [技能提分练] 1．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. (1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  2(1－ln 2＋a)  故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞). f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值． (2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增． 于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0). 又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0. 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1，x∈R. 2．(2023·山东临沂模拟)已知函数f(x)＝a ln x＋x＋＋2a(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若0<a<，求证：f(x)<x＋. (1)解：函数f(x)＝a ln x＋x＋＋2a 的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋1－＝. 对于方程x2＋ax－2＝0，Δ＝a2＋8>0. 解方程x2＋ax－2＝0，可得x1＝<0，x2＝>0. 当0<x<时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞). (2)证明：要证明f(x)<x＋，即证x＋a ln x＋＋2a<x＋， 即证a(ln x＋2)<，即证<. 令g(x)＝，其中x>0，则g′(x)＝. 当时0<x<2，g′(x)<0，此时函数g(x)单调递减； 当x>2时，g′(x)>0，此时函数g(x)单调递增． 所以g(x)min＝g(2)＝. 令h(x)＝，其中0<a<，x>0，则h′(x)＝－. 当0<x<时，h′(x)>0，此时函数h(x)单调递增； 当x>时，h′(x)<0，此时函数h(x)单调递减． 所以h(x)max＝h＝ae<，即h(x)max<g(x)min，所以<. 故原不等式得证． 3．(2023·天津崇化中学模拟)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)证明：当x>0，且x≠1时，f(x)>. (1)解：f′(x)＝－.由于直线x＋2y－3＝0 的斜率为－，且过点(1，1)，所以， 即，解得a＝1，b＝1. (2)由(1)知f(x)＝＋， 所以f(x)>⇔＋> ⇔＋>0⇔>0. 令h(x)＝ln x－(x>0)，则h′(x)＝－＝≤0，于是h(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当0<x<1时，h(x)单调递减，所以h(x)>h(1)＝0，于是h(x)＝h(x)>0；当x>1时，h(x)单调递减，所以h(x)<h(1)＝0，于是H(x)＝h(x)>0. 综上所述，当x>0且x≠1时，f(x)>. 4．(2023·天津南开中学模拟)已知函数f(x)＝a ln x＋x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝1时，证明：xf(x)<ex. (1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋1＝.当a≥0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a<0时，令f′(x)>0，得x∈(－a，＋∞)； 令f′(x)<0，得x∈(0，－a). 所以f(x)在(－a，＋∞)上单调递增，在(0，－a)上单调递减． 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(－a，＋∞)上单调递增，在(0，－a)上单调递减． (2)证明：当a＝1时，要证xf(x)<ex， 即证x2＋x ln x<ex，即证1＋<.令函数g(x)＝1＋， 则g′(x)＝.令g′(x)>0，得x∈(0，e)；令g′(x)<0，得x∈(e，＋∞). 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(e)＝1＋. 令函数h(x)＝，则h′(x)＝. 当x∈(0，2)时，h′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0. 所以h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所