浙江省湖州、衢州、丽水三地市2023届高三下学期4月教学质量检测数学试卷

湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A C B B C D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 题号 9 10 11 12 答案 ABD BC AC ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 14． (本题为开放题，只要满足图象中点为其对称中心，轴为其对称轴，且周期为4的函数都可以) 15． 16． 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分） 已知数列满足：，且对任意的， （1）求，的值，并证明数列是等比数列； （2）设（），求数列的前项和． 解（1），．------------------------------------------------------2分 由题意得， 又，所以数列是等比数列．---------------------------------------5分 （若用数列前3项说明是公比为3的等比数列，但没有严格证明的只得3分） （2）由（1）知．---------------------------------------------------7分 运用分组求和，可得．-----------------------------------------10分 18．（本题满分12分） 如图，在三棱柱中，底面平面，是正三角形，是棱上一点，且，． （1）求证：； （2）若且二面角的余弦值为， 求点到侧面的距离． 解；（1）取的中点，的中点，连接． 因为，在三棱柱可得，四边形为梯形，且，． 因为，且，所以．------------------------------2分 因为，所以． 又平面平面，平面平面 所以平面，所以．----------------------------------------4分 因为，，， 所以平面，所以． 又，所以．--------------------------------------------------6分 （2）由（1）知平面，所以，又， 所以是二面角的平面角．------------------------------9分 所以． 作，由（1）知平面，设，则，在中，，在平行四边形中，，又 在等腰三角形中，解得， 所以．---------------------------------------------------------------------------12分 19．（本题满分12分） 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足，且． （1）求证：； （2）已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围． 解析：（1）由题意得, 即． 由正弦定理得，--------------------------------------------------------------2分 又由余弦定理得，---------------------------------------------4分 所以，故， 故，整理得， 又为锐角三角形，所以，因此．------------------------------6分 （2）在中，由正弦定理得， 所以．-------------------------------------------------------------------8分 所以， 因为为锐角三角形，且， 所以，解得．-------------------------------------10分 故，所以． 因此线段长度的取值范围．---------------------------------------------------12分 20．（本题满分12分） 为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛．该竞赛由道必答题和道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得分答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得分答错扣分．两个环节结束后，累计总分高者获胜．由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题道，抢答题道，且每题的分值不变． （1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况．请根据