第七章 分级练(46) 利用空间向量证明平行与垂直（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

分级练(46) 利用空间向量证明平行与垂直 分级一　提能强化 1．(2023·福建莆田锦江中学模拟)已知u＝(1，2，1)是直线l的方向向量，v＝(2，y，2)为平面α的法向量，若l⊥α，则y的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．4 D　解析：因为l⊥α，所以u∥v，所以＝＝，解得y＝4.故选D. 2．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1) C．P(－4，4，0) D．P(3，－3，4) A　解析：对于选项A，＝(1，4，1)，∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内． 3．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).则下列结论正确的有(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ ABC　解析：·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴⊥，即AP⊥AB，故A正确；·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，故B正确；由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，故C正确；由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误． 4．如图，F是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E与B重合 A　解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，则＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB. 5．(多选)(2023·江苏南京高三开学考试)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB＝2，AB⊥AD，且P为CC1中点，Q为AA1上一动点，则(　　) A．|PQ|∈[，] B．三棱锥B­QPB1的体积为 C．存在点Q使得BD1与平面QPB1垂直 D．存在点Q使得AC1与平面QPB1垂直 AB　解析：因为在长方体ABCD­A1B1C1D1中，所以DA，DC，DD1两两垂直，所以以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz， 对于选项A，P(0，1，1)，Q(2，0，q)，所以|PQ|＝，且q∈[0，2]，所以|PQ|∈[，]，故A正确；对于选项B，VB­QPB1＝VQ­BPB1＝×1××2×2＝，故B正确；对于选项C，＝(－2，0，1)，＝(0，－1，q)，＝(－2，－1，2)，设平面QPB1的法向量n＝(x，y，z)，且，即，则n＝(1，2q，2)，所以不可能平行于n，故C错误；对于选项D，因为＝(－2，1，2)，所以也不可能平行于n，故D错误．故选AB. 6．(多选)(2023·福建福州一中高三开学考试)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AA1中点，若直线EF∥平面A1BC1，则点F的位置可能是(　　) A．线段CC1中点 B．线段BC中点 C．线段CD中点 D．线段C1D1中点 ABD　解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设CC1，BC，CD，C1D1的中点分别为M，N，P，Q，不妨设棱长为2，则A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，0，1)，M(0，2，1)，N(1，2，0)，P(0，1，0)，Q(0，1，2)，＝(0，2，－2)， ＝(－2，2，0)，设平面A1BC1的法向量n＝(x，y，z)，则，令y＝1，则n＝(1，1，1)，又＝(－2，2，0)，＝(－1，2，－1)，＝(－2，1，－1)，＝(－2，1，1)，则·n＝－2×1＋2×1＝0，·n＝－1×1＋2×1－1×1＝0，·n＝－2×1＋1×1－1×1＝－2，·n＝－2×1＋1×1＋1×1＝0，又EM，EN，EQ⊄平面A1BC1，则EM，EN，EQ都平行于平面A1BC1，即若直线EF∥平面A1BC1，则点F的位置可能是线段CC1中点，线段BC中点或线段C1D1中点．故选ABD. 7．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则x＝________，y＝________，z＝________. 答案：　－　4　解析：由条件得解得 8. 如图，正方体ABCD­A1B1C1D