第六章 分级练(36) 数列的概念与表示（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

分级练(36)　数列的概念与表示 分级一　提能强化 1．已知an＝，那么数列{an}是(　　) A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 B　解析：an＝＝1－，将an看作关于n的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列． 2．(2023·湖南长郡中学模拟)设数列{an}满足a1＝－1，且an＋1＝(1－an)2，则a3＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．9 D　解析：因为a2＝[1－(－1)]2＝22＝4，所以a3＝(1－4)2＝(－3)2＝9.故选D. 3．(2022·广东鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2＋2n，a5＝11，则k的值为(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 C　解析：由题设，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋2，又a5＝11，∴S5－S4＝9k＋2＝11，可得k＝1.故选C. 4．设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2 024＝(　　) A．－ B． C．1 D．－1 C　解析：由a1＝2，an＋1＝1－，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，此时数列的项开始重复出现，呈现周期性，周期为3，且P3＝－1，2 024＝3×674＋2，所以P2 024＝(－1)3×674×a1a2＝1. 5．(2023·广东梅州模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋)，则an＝(　　) A.2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n A　解析：在数列{an}中，an＋1－an＝ln (1＋)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋2＝ln (··…·)＋2＝ln n＋2，故选A. 6. (2023·江苏宿迁模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1，且an＝，则解下6个环所需的最少移动次数为(　　) A．13 B．16 C．31 D．64 C　解析：∵a1＝1，an＝，∴a2＝2a1－1＝1，a3＝2a2＋2＝4，a4＝2a3－1＝7，a5＝2a4＋2＝16，a6＝2a5－1＝31，所以解下6个环所需的最少移动次数为31.故选C. 7．(2022·湖南长郡中学模拟)已知数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(n∈N*)，则an＝(　　) A． B． C． D． C　解析：由题设，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝①，则a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝(n≥2)②，①－②得3n－1an＝－＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)，由①知a1＝也满足此式，故an＝(n∈N*).故选C. 8．(2023·湖北高三开学考试)记数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则使得Sn取得最小值时n的值为________． 答案：16　解析：由an＝得an＝＋×，当n≤16时，单调递减，且<0，当n＝1时，a1<0，故当n≤16时，an<0，当n≥17时，>0，且an>0，所以当n＝16时，Sn最小． 9．写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an}的通项公式an＝________. ①数列{an}是无穷等比数列；②数列{an}不单调；③数列{|an|}单调递减． 答案：an＝(－)n(答案不唯一)　解析：由题意可得，an＝(－)n满足(1)数列{an}是无穷等比数列；(2)数列{an}不单调；(3)数列{|an|}单调递减，故答案可以是an＝(－)n. 10．(2023·江苏南京模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，＝28，数列{bn}满足bn＝3log3an＋1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若对任意的n∈N*，λbn<3an恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 由＝28，显然q≠1，所以＝28，解得q＝3， 由于a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*； 所以{bn}的通项公式为bn＝3log3an＋1＝3log33n－1＋1＝3n－2，n∈N*. (2)因为λbn<3an恒成立，即λ<对于任意的n∈N*恒成立． 令f(n)＝，n∈N*，则f(n＋1)－f(n)＝－＝， 当n>1时，f(n＋1)>f(n)，所以f(1)>f(2)<f(3)<f(4