第四章 分级练(27) 三角恒等变换（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

分级练(27)　三角恒等变换 分级一　提能强化 1．计算：＝(　　) A． B．－ C． D．－ D　解析：原式＝－·＝－tan＝－×＝－. 2．已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos ＝(　　) A． B．－ C． D．－ B　解析：∵cos α＝，α∈(π，2π)，∴∈(，π)， ∴cos ＝－＝－＝－. 3．(2023·湖北恩施期末)已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝(　　) A． B．－ C．－ D．－或 C　解析：因为tan α＝，tan β＝－，则tan 2α＝＝＝，tan(2α－β)＝＝＝1， 因为α，β∈(0，π)，tan α>0，tan β<0，则0<α<，<β<π，又tan 2α>0，有0<2α<，于是得－π<2α－β<0，因此，2α－β＝－. 4．设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x＝(　　) A．1 B．2 C． D． A　解析：∵2α－β＝，∴β＝2α－， ∴＝1，即＝1， ∴x＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin2α＝1. 5．(2022·山东聊城三模)已知sin(α＋)＝，则sin (2α＋)的值为(　　) A. B．－ C． D．－ A　解析：sin (2α＋)＝sin [2(α＋)－]＝－cos 2(α＋)＝2sin2(α＋)－1＝2×－1＝. 6．(2022·福建漳州一模)已知＝，则sin(α－)＝(　　) A． B．－ C．－ D． C　解析：由＝，得＝，所以sin (α－)＝－. 7．化简：－＝________． 答案：4　解析：－＝＝＝＝4. 8．若角α满足cos (＋α)＝，则＝________. 答案：　解析：∵cos(＋α)＝(cos α－sin α)＝， ∴cos α－sin α＝，∴2sin αcos α＝， ∴＝＝sinαcos α＝. 9．已知α，β均为锐角，且α＋β≠.若sin (2α＋β)＝sin β，则＝________． 答案：5　解析：由sin (2α＋β)＝sin β，可得2sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，所以2[sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α]＝3[sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α]，整理得sin (α＋β)·cos α＝5cos (α＋β)sin α，所以tan (α＋β)＝5tan α，即＝5. 10．已知函数f(x)＝A cos (＋)，x∈R，且f()＝. (1)求A的值； (2)设α，β∈[0，]，f(4α＋)＝－，f(4β－)＝，求cos (α＋β)的值． 解：(1)因为f()＝A cos (＋)＝A cos ＝A＝，所以A＝2. (2)由f(4α＋)＝2cos (α＋＋)＝2cos (α＋)＝－2sin α＝－，得sin α＝，又α∈[0，]，所以cos α＝. 由f(4β－)＝2cos (β－＋)＝2cos β＝，得cos β＝，又β∈[0，]，所以sin β＝， 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－. 分级二　知能探究 11．(2023·福建龙岩质检)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan ＝(　　) A． B. C． D. D　解析：3sin α＋2cos α ＝ ＝＝2， 所以3tan＋1－tan2＝tan2＋1，解得tan＝0或tan ＝，又α∈(0，π)，所以tan ≠0，所以tan ＝. 12．(2023·宁夏银川模拟)在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan ，则＝(　　) A．4 B． C．2 D． D　解析：∵tan ＝＝tan (＋θ)，且tan θ＝，∴＋θ＝kπ＋，∴θ＝kπ＋，k∈Z，∴tan θ＝tan (kπ＋)＝.∴＝. 13．(2022·江苏徐州模拟)如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，，，…的图形，设四边形ABCD的对角线交于点O，若＝λ，则λ＝________． 答案：－1　解析：△ABC，△ACD都为直角三角形，∠ACB＝45°，∴∠BCD＝135°，∠CDB＝22.5°＝α，tan 2α＝＝1，解得tanα＝－1，∴OC＝－1，OA＝－(－1)＝1，∴λ＝＝－1. 14．(2023·山东临沂模拟)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°.若m2＋n＝4，则＝________． 答案：2　解