第四章 分级练(31) 解三角形应用举例（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

分级练(31)　解三角形应用举例 分级一　提能强化 1. 如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° D　解析：由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°， 又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°， 因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 2．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　) A． km B． km C． km D．2 km A　解析：如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°， ∴＝， ∴AC＝2×＝ (km). 3. 如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为(　　) A．2 km B． km C．2 km D． km D　解析：在△ABC中，由已知得AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，故AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝32＋42－2×3×4cos 60°＝13，故AB＝. 4．(2023·四川毕节期末)小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝12 m，②在B处测得旗杆顶端A处的仰角为60°，③在C处测得旗杆顶端A处的仰角为45°，④cos ∠BAC＝，⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为(　　) A．10 m B．12 m C．12 m D．12 m D　解析：选①②③⑤，如图所示： 则∠ABO＝60°，∠ACO＝45°， 设OA＝x，则OA＝OC＝x，OB＝. 在△BOC中，利用余弦定理 BC2＝122＝x2＋()2－2x××， 整理得x＝12，即OA＝12 m，故选D. 5. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为(　　) A．50 m B．50 m C．50 m D．50 m B　解析：设该扇形的半径为r，连接CO，如图所示． 由题意，得CD＝150 m，OD＝100 m，∠CDO＝60°， 在△CDO中，由余弦定理得， CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2， 即1502＋1002－2×150×100×＝r2， 解得r＝50 m． 6．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里． 答案：10　解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，得AB＝5， 于是这艘船的速度是＝10(海里/时). 7. 某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km. 答案：3　解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6(km)， 在△ABS中，∠BAS＝30°，∠ABS＝180°－75°＝105°， ∴∠ASB＝45°， 由正弦定理知＝， ∴BS＝＝3(km). 8．如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米).记∠AMN＝θ. (1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来； (2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)? 解：(1)∠AMN＝θ，在△AMN中， 由正弦定理，得＝＝， 所以AN＝sin θ，AM＝sin (120°－θ). (2)AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos ∠AMP ＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos (θ＋60°) ＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin (2θ＋120°)＋4 ＝－[sin (2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋ ＝－sin (2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)， 当且仅当2θ＋