第四章 分级练(30) 利用正弦定理、余弦定理解三角形（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

分级练(30)　利用正弦定理、余弦定理解三角形 分级一　提能强化 1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，C＝45°，ac cos B＝b2＋bc cos A，则△ABC的面积为(　　) A． B．1 C．2 D．4 B　解析：已知ac cos B＝b2＋bc cos A， 由余弦定理得ac·＝b2＋bc·，解得a2＝2b2，故b＝， ∴S＝ab sin C＝×2××＝1， 所以△ABC的面积为1. 2．(2022·湖北武汉模拟)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，则A＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为a(b2＋c2－a2)＝b2c， 所以2a×＝b， 即b＝2a cos A，所以sin B＝2sin A cos A＝sin 2A， 所以B＝2A，或B＋2A＝π.若B＋2A＝π，则C＝A. 这与题设不符合，故B＝2A，又B＝C，所以A＋B＋C＝5A＝π， 即A＝. 3．(2023·江苏高邮中学模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝1，C＝ ，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的直径为(　　) A．4 B．5 C．5 D．6 C　解析：因为b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2， 所以S＝ab sin ＝2，解得a＝4， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝25，解得c＝5， 所以△ABC的外接圆的直径为2R＝＝5. 4．(多选)(2023·湖北襄阳五中高三开学考试)在△ABC中，下列说法正确的有(　　) A．若a2<b2＋c2，则为锐角三角形 B．若a2>b2＋c2，则为钝角三角形 C．若A>B，则sin A>sin B D．a＝b cos C＋c cos B BCD　解析：对于A，cos A＝>0，而A为三角形内角，故A为锐角，但此时不能得到△ABC为锐角三角形，故A错误；对于B，cos A＝<0，而A为三角形内角，故A为钝角，此时△ABC为钝角三角形，故B正确；对于C，若A>B，则a>b，故2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，故C正确；对于D，b cos C＋c cos B＝b×＋c×＝a，故D正确． 5．(多选)(2022·广东广州三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.下面四个结论正确的是(　　) A．a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4 B．若＝，则A＝45° C．若a2＋b2<c2，则△ABC一定是钝角三角形 D．若A<B，则cos A<cos B BC　解析：由正弦定理知＝4＝2R，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及＝可得，＝＝1，即tan A＝1，由0<A<π，知A＝45°，故B正确；因为cos C＝<0，所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形，故C正确；若A＝，B＝，显然cos A>cos B，故D错误． 6．(多选)(2022·河北衡水冀州期末)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有(　　) A．a＝6，b＝5，c＝4 B．·＝2a C．＝ D．b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB cos C BC　解析：对A，由a>b>c可知A>B>C，且b2＋c2＝41>36＝a2，所以A是锐角，故A不能判断△ABC为钝角三角形；对B，由·＝－ac cos B＝2a，得cos B<0，则B为钝角，故B能判断△ABC为钝角三角形；对C，由正弦定理＝，得b2＋c2－a2＝－bc，则cos A＝－，A＝，故C能判断△ABC为钝角三角形；对D，由正弦定理，条件等价于sin2B sin2C＋sin2C sin2B＝2sinB sin Ccos B cos C，则，即cos (B＋C)＝0，故B＋C＝，则A＝，故D不能判断△ABC为钝角三角形． 7．(2023·福建福州第一中学开学考试)在平面四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AB＝4，AD＝2，则AC＝________. 答案：　解析：延长BC，AD交于点E，连接AC，由题意可得∠E＝30°， ∵AE＝AB＝4，∴AD＝2，∴DE＝2， 因为平面四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝30°，∠BCD＝60°， ∴∠ECD＝120°，∠CDA＝150°， ∴∠CDE＝30°，∴EC＝CD， 在△CDE中，设CE＝CD＝x，由余弦定理可得 4＝x2＋x2－2·x·x·cos 120°， 解得CD＝＝， 在△ACD中，由余弦定理可得， AC＝ ＝ ＝. 8．(2023·山东淄博一中开学考试)已知△ABC中，角A，B，C的对边