第三章 分级练(21) 利用导数研究恒(能)成立问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

分级练(21)　利用导数研究恒(能)成立问题 分级一　提能强化 1．(2022·江苏苏州模拟)已知函数f(x)＝x ln x＋1. (1)求函数f(x)单调区间； (2)若x>1时，函数f(x)>kx恒成立，求实数k的取值范围． 解：∵f(x)＝x ln x＋1，x>0，∴f′(x)＝ln x＋1， 当x∈(0，)时，f′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． (2)当x>1时，f(x)>kx恒成立，即k<ln x＋恒成立， 构造函数g(x)＝ln x＋，x>1，则求导可得g′(x)＝－＝， 当x>1时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则g(x)>g(1)＝1， 所以k≤1. 2．(2023·山东临沂高三期末)已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数). (1)若不等式f(x)>恒成立，求实数x的取值范围； (2)若不等式f(x)<ax＋－a ln 2在x∈(ln 2，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝＝1－，由复合函数的单调性原理得f(x)在R上单调递增，由f(x)>得>＝f(1)，即f(x)>f(1)，∴x>1. 所以实数x的取值范围为(1，＋∞). (2)－ax＋a ln 2－<0对∀x∈(ln 2，＋∞)恒成立， 令g(x)＝－ax＋a ln 2－，g′(x)＝－a， g″(x)＝<0，∴g′(x)在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g′(x)<g′(ln 2)＝－a， 若－a≤0，即a≥时，g′(x)<0在x∈(ln 2，＋∞)上恒成立，则g(x)在(ln 2，＋∞)上单调递减，g(x)<g(ln 2)＝0符合题意． 若－a>0，即a<时， ①若a≤0，则g′(x)>0，g(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增，g(x)>g(ln 2)＝0与题设矛盾，舍去． ②若0<a<，则存在x0使g′(x0)＝0，且当x∈(ln 2，x0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，此时g(x)>g(ln 2)＝0与题设也矛盾，舍去． 综上，实数a的取值范围为[，＋∞). 3．(2023·河北石家庄高三期末)已知函数f(x)＝ax2＋cos x. (1)当a＝时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥1，求a的取值范围． 解：(1)当a＝时，f′(x)＝x－sin x， 令g(x)＝x－sin x，则g′(x)＝1－cos x≥0，所以g(x)在R上单调递增． 又因为g(0)＝0，所以当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f′(x)＝2ax－sin x，且f(0)＝1. ①当a≥时，由(1)可知当x≥0时f′(x)＝x－sin x≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)≥f(0)＝1，符合题意． ②当a≤0时，f()＝a×()2<1，不符合题意，舍去． ③当0<a<时，令F(x)＝2ax－sin x，则F′(x)＝2a－cos x，则∃x1∈(0，)，F′(x1)＝0，当x∈(0，x1)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(0，x1)上单调递减，当x∈(0，x1)时，f(x)<f(0)＝1，不符合题意，舍去． 综上，a的取值范围为[，＋∞). 分级二　知能探究 4．(2022·广西柳州模拟)已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a ln x(a∈R). (1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围； (2)函数g(x)＝(1－a)x，若∃x∈[1，e]使得f(x)≥g(x)成立．求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝， 当导函数f′(x)的零点x＝a落在区间(1，2)内时，所以函数f(x)在区间[1，2]上就不是单调函数， 所以实数a的取值范围是a≤1或a≥2. (2)由题意知，不等式f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，即x2－2x＋a(ln x－x)≥0在区间[1，e]上有解． 令φ(x)＝x－ln x，x∈[1，e]，则φ′(x)＝1－＝≥0， ∴φ(x)＝x－ln x在[1，e]上单调递增，∴φ(x)≥φ(1)＝1，∴x－ln x>0， ∴a≤在区间[1，e]上有解， 令h(x)＝，则h′(x)＝， ∵x∈[1，e]，∴x＋2>2≥2ln x，∴h′(x)≥0，h(x)单调递增， ∴x∈[1，e]时，h(x)max＝h(e)＝，∴a≤， 所以实数a的取值范围是(－∞，]. 5．(2022·山东济南一中模拟)已知函数f(x)＝aeax＋a(a>0)，g(x)＝2(x＋)ln x. (1)若f(x)在点(0，f(0))处的切线与g(x)在点(1，g(1))处