第二章 分级练(9) 函数的奇偶性、周期性与对称性（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

分级练(9)　函数的奇偶性、周期性与对称性 分级一　提能强化 1．(2023·河北唐山高三期末)函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是(　　) A．f(x)＋g(x)为奇函数 B．f(x)＋g(x)为偶函数 C．f(x)g(x)为奇函数 D．f(x)g(x)为偶函数 C　解析：令F1(x)＝f(x)＋g(x)，则F1(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－F1(x)，且F1(－x)≠F1(x)，∴F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A，B错误；令F2(x)＝f(x)g(x)，则F2(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F2(x)，且F2(－x)≠F2(x)，∴F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误． 2．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 B　解析：因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称． 3．(2022·湖南邵阳市二中模拟)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 B　解析：由题意可得f(x)＝＝－1＋，对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数． 4．(2023·湖南长沙月考)定义函数D(x)＝则下列命题中正确的是(　　) A．D(x)不是周期函数 B．D(x)是奇函数 C．D(x)的图象存在对称轴 D．D(x)是周期函数，且有最小正周期 C　解析：当m为有理数时，D(x＋m)＝∴D(x＋m)＝D(x)，∴任何一个有理数m都是D(x)的周期，∴D(x)是周期函数，但无最小正周期，∴选项A，D错误，若x为有理数，则－x也为有理数，∴D(x)＝D(－x)，若x为无理数，则－x也为无理数，∴D(x)＝D(－x)，综上，总有D(－x)＝D(x)，∴函数D(x)为偶函数，图象关于y轴对称，∴选项B错误，选项C正确． 5．(2023·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　) A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 C　解析：由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5. 6．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x).若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) D　解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2).又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞). 7．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f(－)＋f(2)＝________． 答案：－2　解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0.又f(x)在R上的周期为2，∴f(2)＝f(0)＝0. 又f(－)＝f(－)＝－f()＝－4＝－2， ∴f(－)＋f(2)＝－2. 8．(2023·湖北荆州中学高三开学考试)设函数f(x)＝，若函数f(x)在R上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 答案：0　解析：因为f(x)＝，其定义域为R，又f(－x)＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数；故M＋m＝0. 9．(2023·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝ln (－x)，则f(ln 5)＋f(ln )＝________. 答案：0　解析：因为函数f(x)的定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln (－x)＋ln (＋x)＝ln 1＝0，所以函数f(x)是奇函数，又ln ＝－ln 5，所以f(ln 5)＋f(ln )＝0. 10．(2022·江苏苏州三模)求出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x). ①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2. 解：由条件①②③可知函数对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x(答案不唯一). 分级二　知能探究 11．(2021·全国甲卷)设f(x)