第十章 分级练(72) 概率与统计的综合问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

分级练(72)　概率与统计的综合问题 分级一　提能强化 1．(2022·福建厦门模拟)随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型，为了测试A，B两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用黄瓜做对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数达到45及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成频率分布直方图，其中质量指标值分组区间是[30，35)，[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55]. (1)分别求A实验区黄瓜质量指数的平均数和中位数；(每组数据以区间的中点值为代表，结果保留小数点后一位有效数字) (2)请根据题中信息完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用肥料有关． A有机肥料 B有机肥料 合计 质量优等 质量非优等 合计 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d， 解：(1)A片实验区黄瓜的质量指数平均数为 32．5×0.05＋37.5×0.15＋42.5×0.2＋47.5×0.55＋52.5×0.05＝44.5， 设A片实验区黄瓜质量指数中位数为x，则0.05＋0.15＋0.2＋(x－45)×0.11＝0.5，得x＝45≈45.9. (2)零假设为H0：“质量优等”与使用肥料无关．由题意可得2×2列联表为 χ2＝＝＝≈18.182. ∵18.182>10.828，依据α＝0.001，我们推断此假设H0不成立．所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关． 2．(2023·江苏通州模拟)当今时代，国家之间的综合国力的竞争，在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争．我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科学研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利． (1)在研发过程中，对研发时间x(单位：月)和产品的厚度y(单位：nm)进行统计，其中1～7月的数据资料如下： 现用＝＋作为y关于x的经验回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少？ (2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线．现有以下两种售卖方案可供选择： ①直接售卖，则每条生产线可卖5万元； ②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖．已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元．请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学？并说明理由． 参考数据：设z＝，zi＝，＝0.37，＝50，iyi＝184.5，－72＝0.55； 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归方程＝u＋中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为＝，＝－. 解：(1)由题可得＝＝＝100， ∴＝－＝50－100×0.37＝13，∴＝13＋， ∵x>0，>0，∴＝13＋>13，即该产品的“理想”优良厚度约为13 nm. (2)方案①，售卖收益为5×3＝15万元； 方案②，设X为3条老旧生产线改造成功的收益，X的可能取值为－20，0，20，40， P(X＝－20)＝(1－)3＝， P(X＝0)＝C××()2＝， P(X＝20)＝C×()2×＝， P(X＝40)＝()3＝， ∴E(X)＝(－20)×＋0×＋20×＋40×＝25， ∵25>15，∴该企业应选择方案②更为科学． 3．(2023·湖南长沙一中模拟)为了振兴乡村经济，某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为2021年7月10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2021年7月10日至7月14日时段中的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y(单位：万人)的数据如下表： (1)依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y(单位：万人)是否具有较高的线性相关程度？(参考：若0.3<|r|<0.75，则线性相关程度一般，若|r|>0.75，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01) (2)求购买人数y与直播的天数x的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从2021年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位：万人). 参考数据：(yi－)2＝434，(xi－)(yi－)＝64，≈65.879. 附：相关系数r＝，经验回归方程的斜率＝，＝－. 解：(1)由表中数据可得＝3，＝90， 所以(xi－)2＝10，又(yi－)2＝434， (