第九章 分级练(67) 离散型随机变量的分布列、均值与方差（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

分级练(67)　离散型随机变量的分布列、均值与方差 分级一　提能强化 1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 C　解析：选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2. 2．若离散型随机变量X的分布列为 则X的均值E(X)＝(　　) A．2 B．2或 C． D．1 C　解析：由题意知，＋＝1，a>0，所以a＝1，所以E(X)＝0×＋1×＝.故选C. 3．若随机变量X的分布列为 则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) C　解析：由随机变量X的分布列知，P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]. 4．(多选)(2023·江苏徐州模拟)随机变量ξ的分布列为 若E(ξ)＝，随机变量ξ的方差为D(ξ)，则下列结论正确的有(　　) A．a＝，b＝ B．a＝，b＝ C．D(ξ)＝ D．D(ξ)＝ AC　解析：由题意得∴D(ξ)＝(1－)2·＋(2－)2·＋(3－)2·＝，故选AC. 5．已知随机变量ξ1和ξ2的分布列如下： 则有(　　) A．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) A　解析：根据分布列可得E(ξ1)＝0×0.33＋5×0.34＋10×0.33＝5，E(ξ2)＝1×0.01＋4×0.98＋7×0.01＝4， D(ξ1)＝(0－5)2×0.33＋(5－5)2×0.34＋(10－5)2×0.33＝16.5，D(ξ2)＝(1－4)2×0.01＋(4－4)2×0.98＋(7－4)2×0.01＝0.18，∴E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2). 6．(多选)(2022·江苏苏州三模)已知投资A，B两种项目获得的收益分别为X，Y，分布列如下表，则(　　) A．m＋n＝0.5 B．E(2X＋1)＝4 C．投资两种项目的收益期望一样多 D．投资A项目的风险比B项目高 ACD　解析：依题意可得0.2＋m＋0.6＝1，所以m＝0.2，0.3＋0.4＋n＝1，所以n＝0.3，所以m＋n＝0.5，故A正确；所以E(X)＝－1×0.2＋0×0.2＋2×0.6＝1，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3，故B错误；E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，所以E(X)＝E(Y)，故C正确；因为D(X)＝(－1－1)2×0.2＋(0－1)2×0.2＋(2－1)2×0.6＝1.6，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，即D(X)>D(Y)，所以投资A项目的风险比B项目高，故D正确．故选ACD. 7．某射击选手射击环数的分布列为 若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________． 答案：40%　解析：由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%. 8．(2023·福建龙岩模拟)某产品有5件正品和3件次品混在了一起(产品外观上看不出有任何区别)，现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为________． 答案：　解析：设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为P(X＝1)＝＝. 9．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1 000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是________． 答案：(1 000，20 000)　解析：假设客户交保险金100元，保险公司收益的随机变量ξ的分布列为 则E(ξ)＝0.995×100＋0.005×(100－a)>0，解得a<20 000，故a的取值范围为(1 000，20 000). 分级二　知能探究 10．(2021·北京卷)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒． (1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数； ②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数