第七章 分级练(43) 直线、平面垂直的判定与性质（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

分级练(43)　直线、平面垂直的判定与性质 分级一　提能强化 1．(2022·山东烟台三模)若a和α分别为空间中的直线和平面，则“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：若a⊥α，则a垂直α内所有直线，因此，命题“若a⊥α，则a垂直α内无数条直线”正确，a垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可以在平面α内，即不能推出a⊥α，所以“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的充分不必要条件．故选A. 2．(2023·江苏盐城期中)设m，n是不同的直线，α是平面，则下列说法正确的是(　　) A.若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥α，n⊥m，则n∥α D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D　解析：对于A，当m∥α，m∥n时，n∥α或n在平面α内，所以A错误；对于B，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误；对于C，当m⊥α，n⊥m时，n∥α或n在平面α内，所以C错误；对于D，当m⊥α，n⊥α时，由垂直于同一平面的两条直线平行，可得m∥n，所以D正确．故选D. 3．(2022·山东滨州二模)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设直线BD1与直线AD所成的角为α，直线BD1与平面CDD1C1所成的角为β，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． C　解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为AD∥BC，所以直线BD1与直线AD所成的角α＝∠BD1A1，因为BC⊥平面CDD1C1，所以D1C为D1B在平面CDD1C1上的射影，所以直线BD1与平面CDD1C1所成的角β＝∠BD1C，又BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥D1C，所以∠BD1A1＋∠BD1C＝，即α＋β＝.故选C. 4．(2023·湖南岳阳模拟)如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　) A．AH与△EFH所在平面垂直 B．AG与△EFH所在平面垂直 C．HF与△AEF所在平面垂直 D．HG与△AEF所在平面垂直 A　解析：原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，又FH⊂平面EFH，EH⊂平面EFH，所以AH与△EFH所在平面垂直．故A正确，B错误；由上知，∠HGA≠，故D错误；由原图知HF与EF不垂直，故C错误．故选A. 5．(多选)(2023·山东济宁高三开学考试)已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同的直线．给出以下四个论断：①m∥n；②α⊥β；③n⊥β；④m∥α，以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，可以得到以下四个命题，其中正确的命题是(　　) A．①②③⇒④ B．①③④⇒② C．①②④⇒③ D．②③④⇒① AB　解析：设α∩β＝l，在α内作直线b⊥l，因为α⊥β，所以b⊥β.因为m∥n且n⊥β，所以m⊥β，所以m∥b，从而m∥α，即选项A正确；过m作平面γ，γ∩α＝m1，则m∥m1，结合①③，得m1⊥β，所以α⊥β，即选项B正确；由①④，得m∥α，再结合②，得n，β的位置可能n∥β或n与β相交，即选项C错误；由②③得m∥α，再结合④，得m与n还有可能相交或异面，即选项D错误．故选AB. 6．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为________． 答案：　解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意πrl＝3πr2，即l＝3r，设母线与底面夹角为θ，则cos θ＝＝. 7．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________. 答案：①　解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面． ①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF， ∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确； ②不能得到BD⊥EF，故②错误；③中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，则EF⊥AC，故③错误，故填①. 8.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别在棱BB1，CC1上，棱AA1⊥底面ABC，且AB＝BC＝CA＝CE＝EC1＝2BD，记过点A，D，E的平面为α. (1)画出平面α与底面ABC的交线； (2)证明：平面α⊥平面ACC1A1. (1)解：