第七章 分级练(40) 球的“切”“接”问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

分级练(40)　球的“切”“接”问题 分级一　提能强化 1．(2022·江苏淮安模拟)已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上．若该圆锥的底面半径为2，高为6，则球O的表面积为(　　) A．32π B．48π C．64π D．80π C　解析：因为6>2，故球心在圆锥的内部且在高上，设球心到圆锥底面的距离为d，则有(6－d)2－d2＝(2)2，解得d＝2，则球O半径R＝6－d＝4，表面积S＝4πR2＝64π.故选C. 2．(2022·山东泰安模拟)在底面是正方形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA＝3，AB＝4，则四棱锥P­ABCD内切球的表面积为(　　) A．3π B．4π C．5π D．6π B　解析：由题意，设四棱锥P­ABCD内切球的半径为r，因为VP­ABCD＝×42×3＝16，四棱锥P­ABCD的表面积S＝42＋×3×4×2＋×4×5×2＝48，所以r＝＝1，所以四棱锥P­ABCD内切球的表面积为4πr2＝4π.故选B. 3. (2022·山东青岛二模)《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF∥平面ABCD，EF＝2，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为(　　) A．π B．π C．π D．4π B　解析：连接AC，BD交于点M，取EF的中点O，则OM⊥平面ABCD，取BC的中点G，连接FG，作GH⊥EF，垂足为H，如图所示， 由题意可知，HF＝，FG＝，所以HG＝＝，所以OM＝HG＝，AM＝，所以OA＝＝1，又OE＝1，所以OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝1，即这个几何体的外接球的球心为O，半径为1，所以这个几何体的外接球的体积为V＝πR3＝×π×13＝π.故选B. 4．(2022·湖北黄冈中学三模)若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为(　　) A．2∶1 B．3∶2 C．7∶3 D．7∶4 C　解析：如图，O1，O2分别为底面中心，O为O1O2的中点，D为AB的中点，设正六棱柱的底面边长为2，若正六棱柱有内切球，则OO1＝O1D＝，即内切球的半径r＝，OA2＝OO＋O1A2＝7，即外接球的半径R＝，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值，4πR2∶4πr2＝R2∶r2＝7∶3，故选C. 5. (2023·广东潮州高三期末)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB＝BD＝，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为________． 答案：8π　解析：如图所示． 设CD＝x，由题意得C′B＝，在△C′BD中，由余弦定理得C′B2＝C′D2＋BD2－2C′D·BD·cos 135°，即()2＝x2＋()2－2x··(－)，即x2＋2x－8＝0，解得x＝2或x＝－4(舍去)，如图所示． 该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为R＝＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝8π. 6．(2023·湖北模拟)表面积为Q的多面体的每一个面都与体积为36π的球相切，则这个多面体的体积为________． 答案：Q　解析：设球的半径为R，因为球的体积为36π，所以＝36π，解得R＝3.因为表面积为Q的多面体的每一个面都与体积为36π的球相切，所以球的半径就是球心到多面体各个面的距离，所以多面体的体积为×3×Q＝Q. 7．(2023·江西南昌模拟)四面体ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD＝2，AD＝2，则该四面体的外接球表面积为________. 答案：12π　解析：由题意∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD＝2，AD＝2，则AC＝BD＝2，所以AB2＋BD2＝AD2，AB⊥BD，同理AC⊥CD，取AD中点O，则O到A，B，C，D四点的距离相等，O即为四面体ABCD外接球的球心，所以球半径为r＝＝，球表面积为S＝4πr2＝12π. 分级二　知能探究 8．(2022·山东济南二模)在高为2的直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为________. 答案：6＋4　解析：因为直三棱柱ABC­A1B1C1的高为2，设内切球的半径为r，所以2r＝2，所以r＝1，又因为AB⊥AC，所以设AB＝a，AC＝b，BC＝c，所以a2＋b2＝c2.因为S△ABC＝ab＝(a＋b＋c)·r＝(a＋b＋c)，所以△ABC周长的最小值即为面积的最小值，而S△ABC＝ab≤()＝·，当且仅当a＝b时取等号．当